Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{7}{3}} + x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 3]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{7}{3}} + x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.3.5.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 1.1.1.4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.1.4.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.1.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 1.1.1.4.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 1.1.1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 1.1.1.4.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.1.1.4.9

Associez $- 3$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.1.1.4.10

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.4.11

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.4.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.4.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 1.1.1.4.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.4.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.5.1

Associez $\frac{7}{3}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.5.2

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 1.2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3, 3, x^{\frac{2}{3}}, 1$

Étape 1.2.2.2

Comme $3, 3, x^{\frac{2}{3}}, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $3, 3, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{\frac{2}{3}}$ .

Étape 1.2.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.2.2.4

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 1.2.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.2.6

Le plus petit multiple commun de $3, 3, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 1.2.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{2}{3}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.2.8

Le plus petit multiple commun pour $3, 3, x^{\frac{2}{3}}, 1$ est la partie numérique $3$ multipliée par la partie variable.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ par $3 x^{\frac{2}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ par $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$7 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.3

Multipliez $x^{\frac{4}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.2.1.3.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$7 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 x^{\frac{2 + 4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.3.4

Additionnez $2$ et $4$ .

$7 x^{\frac{6}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.3.5

Divisez $6$ par $3$ .

$7 x^{2} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 x^{2} + 3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$7 x^{2} + 3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$7 x^{2} + 4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.6

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.2.1.6.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$7 x^{2} + 4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 x^{2} + 4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 x^{2} + 4 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.6.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$7 x^{2} + 4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.6.5

Divisez $3$ par $3$ .

$7 x^{2} + 4 x^{1} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.7

Simplifiez $4 x^{1}$ .

$7 x^{2} + 4 x - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.8

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ dans le numérateur.

$7 x^{2} + 4 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.8.2

Factorisez $x^{\frac{2}{3}}$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$7 x^{2} + 4 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 3) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$7 x^{2} + 4 x + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 3) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$7 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$7 x^{2} + 4 x - 3 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Multipliez $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$7 x^{2} + 4 x - 3 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$7 x^{2} + 4 x - 3 = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot - 3 = - 21$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 1.2.4.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$7 x^{2} + 4 (x) - 3 = 0$

Étape 1.2.4.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 3$ plus $7$

$7 x^{2} + (- 3 + 7) x - 3 = 0$

Étape 1.2.4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} - 3 x + 7 x - 3 = 0$

Étape 1.2.4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(7 x^{2} - 3 x) + 7 x - 3 = 0$

Étape 1.2.4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (7 x - 3) + 1 (7 x - 3) = 0$

Étape 1.2.4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 x - 3$ .

$(7 x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 1.2.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4.3

Définissez $7 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.3.1

Définissez $7 x - 3$ égal à $0$ .

$7 x - 3 = 0$

Étape 1.2.4.3.2

Résolvez $7 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 3$

Étape 1.2.4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = 3$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 3$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{3}{7}$

Étape 1.2.4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{3}{7}$

Étape 1.2.4.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{7}$

Étape 1.2.4.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7 x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{7}, - 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{7 \sqrt[3]{x^{4}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.3.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{7 \sqrt[3]{x^{4}}}{3} + \frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{7 \sqrt[3]{x^{4}}}{3} + \frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 1.3.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{7 \sqrt[3]{x^{4}}}{3} + \frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 1.3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.3.3.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.3.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.3.3.3.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $x^{\frac{7}{3}} + x^{\frac{4}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{3}{7}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{3}{7}$ .

${(\frac{3}{7})}^{\frac{7}{3}} + {(\frac{3}{7})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(\frac{3}{7})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{7}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + {(\frac{3}{7})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(\frac{3}{7})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{7}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} - 3 {(\frac{3}{7})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.1.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{7}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} - 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$ .

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Étape 1.4.1.2.1.4.1

Associez $- 3$ et $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.4.2

Factorisez le signe négatif.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.4.3

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.4.7

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.2

Pour écrire $\frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{3}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{3}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $7^{\frac{7}{3}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{4}{3}}}$ par $\frac{7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{3}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $7^{\frac{4}{3}}$ par $7^{\frac{3}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{4}{3} + \frac{3}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{4 + 3}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.3.2.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} + \frac{3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.1.2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} \cdot 7^{1}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.5.2.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.5.2.2

Déplacez $7$ à gauche de $3^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3^{\frac{7}{3}} + 7 \cdot 3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{\frac{7}{3}} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{7}{3}} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{7}{3})} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(- 1)}^{3 (\frac{7}{3})} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(- 1)}^{7} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$- 1 + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.5

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$- 1 + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.9

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$- 1 + 1 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.10

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.4.2.2.1.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.4.2.2.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{1}$

Étape 1.4.2.2.1.12

Évaluez l’exposant.

$- 1 + 1 - 3 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2.1.13

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 1 + 1 + 3$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0 + 3$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$3$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{\frac{7}{3}} + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{7}{3}} + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{7}{3})} + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$0^{3 (\frac{7}{3})} + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$0^{7} + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + {(0)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.5

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$0 + {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.3.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 0^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$0 + 0^{4} - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - 3 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.9

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$0 + 0 - 3 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.3.2.1.10

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0 - 3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.4.3.2.1.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.3.2.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 0 - 3 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.4.3.2.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$0 + 0 - 3 \cdot 0^{1}$

Étape 1.4.3.2.1.12

Évaluez l’exposant.

$0 + 0 - 3 \cdot 0$

Étape 1.4.3.2.1.13

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 1.4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.4.3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 1.4.3.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(\frac{3}{7}, \frac{3^{\frac{7}{3}} + 7 \cdot 3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}}), (- 1, 3), (0, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{\frac{7}{3}} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{7}{3}} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{7}{3})} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(- 1)}^{3 (\frac{7}{3})} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(- 1)}^{7} + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$- 1 + {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.5

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$- 1 + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.9

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$- 1 + 1 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.1.2.1.10

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 2.1.2.1.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.2.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 2.1.2.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 1 - 3 {(- 1)}^{1}$

Étape 2.1.2.1.12

Évaluez l’exposant.

$- 1 + 1 - 3 \cdot - 1$

Étape 2.1.2.1.13

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 1 + 1 + 3$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0 + 3$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$3$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{\frac{7}{3}} + {(3)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(3)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez le signe négatif.

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.2.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - 3^{1 + \frac{1}{3}}$

Étape 2.2.2.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Étape 2.2.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - 3^{\frac{3 + 1}{3}}$

Étape 2.2.2.1.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$3^{\frac{7}{3}} + 3^{\frac{4}{3}} - 3^{\frac{4}{3}}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $3^{\frac{4}{3}}$ de $3^{\frac{4}{3}}$ .

$3^{\frac{7}{3}} + 0$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $3^{\frac{7}{3}}$ et $0$ .

$3^{\frac{7}{3}}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, 3), (3, 3^{\frac{7}{3}})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(3, 3^{\frac{7}{3}})$

Minimum absolu : $(\frac{3}{7}, \frac{3^{\frac{7}{3}} + 7 \cdot 3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{7}{3}}} - \frac{3^{\frac{4}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}})$

Étape 4