Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + x - 4$ , $[0, 8]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Étape 1.1.1.5

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x + 1$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 1$ .

$2 x + 1$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + 1 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{2} + x - 4$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{2}$ .

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 4$

Étape 1.4.1.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 4$

Étape 1.4.1.2.3.3

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Étape 1.4.1.2.3.4

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 1.4.1.2.3.5

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Étape 1.4.1.2.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Étape 1.4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2 - 4 \cdot 4}{4}$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{1 - 2 - 16}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 - 16}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.3

Soustrayez $16$ de $- 1$ .

$\frac{- 17}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{17}{4}$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{17}{4})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} + 0 - 4$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

${(0)}^{2} + 0 - 4$

Étape 3.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - 4$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 4$

Étape 3.1.2.4

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 8$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $8$ .

${(8)}^{2} + 8 - 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

${(8)}^{2} + 8 - 4$

Étape 3.2.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$64 + 8 - 4$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $64$ et $8$ .

$72 - 4$

Étape 3.2.2.4

Soustrayez $4$ de $72$ .

$68$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 4), (8, 68)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(8, 68)$

Minimum absolu : $(0, - 4)$

Étape 5