Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 10$ , $[- 2, 0]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 x - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 x - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$3 x^{2} - 4 x - 15 + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 4 x - 15 + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 4 x - 15$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 15$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 4 x - 15$ .

$3 x^{2} - 4 x - 15$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 4 x - 15 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 15 = - 45$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $5$ plus $- 9$

$3 x^{2} + (5 - 9) x - 15 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 5 x - 9 x - 15 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 5 x) - 9 x - 15 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 5) - 3 (3 x + 5) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 5$ .

$(3 x + 5) (x - 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $3 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $3 x + 5$ égal à $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $3 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 5$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 5$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{3}$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 5) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{5}{3}, 3$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 10$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - \frac{5}{3}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{5}{3}$ .

${(- \frac{5}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- \frac{125}{3^{3}} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{125}{27} - 2 {(- \frac{5}{3})}^{2} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{125}{27} - 2 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.7

Multipliez $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{125}{27} - 2 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.8

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{125}{27} - 2 \frac{25}{3^{2}} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{125}{27} - 2 (\frac{25}{9}) - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.10

Multipliez $- 2 (\frac{25}{9})$ .

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Étape 1.4.1.2.1.10.1

Associez $- 2$ et $\frac{25}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{- 2 \cdot 25}{9} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.10.2

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{- 50}{9} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} - 15 (- \frac{5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.1.2.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{3}$ dans le numérateur.

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} - 15 (\frac{- 5}{3}) + 10$

Étape 1.4.1.2.1.12.2

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} + 3 (- 5) \frac{- 5}{3} + 10$

Étape 1.4.1.2.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} + 3 \cdot - 5 \frac{- 5}{3} + 10$

Étape 1.4.1.2.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} - 5 \cdot - 5 + 10$

Étape 1.4.1.2.1.13

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50}{9} + 25 + 10$

Étape 1.4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{50}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} - (\frac{50}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 25 + 10$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{50}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 25 + 10$

Étape 1.4.1.2.2.3

Écrivez $25$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{1} + 10$

Étape 1.4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{25}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{1} \cdot \frac{27}{27} + 10$

Étape 1.4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{25}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 27}{27} + 10$

Étape 1.4.1.2.2.6

Écrivez $10$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 27}{27} + \frac{10}{1}$

Étape 1.4.1.2.2.7

Multipliez $\frac{10}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 27}{27} + \frac{10}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 1.4.1.2.2.8

Multipliez $\frac{10}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 27}{27} + \frac{10 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.2.9

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 27}{27} + \frac{10 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{125}{27} - \frac{50 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 27}{27} + \frac{10 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 125 - 50 \cdot 3 + 25 \cdot 27 + 10 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $- 50$ par $3$ .

$\frac{- 125 - 150 + 25 \cdot 27 + 10 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $25$ par $27$ .

$\frac{- 125 - 150 + 675 + 10 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.4.3

Multipliez $10$ par $27$ .

$\frac{- 125 - 150 + 675 + 270}{27}$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Soustrayez $150$ de $- 125$ .

$\frac{- 275 + 675 + 270}{27}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Additionnez $- 275$ et $675$ .

$\frac{400 + 270}{27}$

Étape 1.4.1.2.5.3

Additionnez $400$ et $270$ .

$\frac{670}{27}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} - 15 \cdot 3 + 10$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 2 {(3)}^{2} - 15 \cdot 3 + 10$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 2 \cdot 9 - 15 \cdot 3 + 10$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$27 - 18 - 15 \cdot 3 + 10$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $3$ .

$27 - 18 - 45 + 10$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $18$ de $27$ .

$9 - 45 + 10$

Étape 1.4.2.2.2.2

Soustrayez $45$ de $9$ .

$- 36 + 10$

Étape 1.4.2.2.2.3

Additionnez $- 36$ et $10$ .

$- 26$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{5}{3}, \frac{670}{27}), (3, - 26)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(- \frac{5}{3}, \frac{670}{27})$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 + 10$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 + 10$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$- 8 + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 + 10$

Étape 3.1.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 8 + {(- 2)}^{1 + 2} - 15 \cdot - 2 + 10$

Étape 3.1.2.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 8 + {(- 2)}^{3} - 15 \cdot - 2 + 10$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 8 - 15 \cdot - 2 + 10$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $- 2$ .

$- 8 - 8 + 30 + 10$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $8$ de $- 8$ .

$- 16 + 30 + 10$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $- 16$ et $30$ .

$14 + 10$

Étape 3.1.2.2.3

Additionnez $14$ et $10$ .

$24$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} - 15 \cdot 0 + 10$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} - 15 \cdot 0 + 10$

Étape 3.2.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 - 15 \cdot 0 + 10$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 0 - 15 \cdot 0 + 10$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $- 15$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 10$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 10$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 10$

Étape 3.2.2.2.3

Additionnez $0$ et $10$ .

$10$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, 24), (0, 10)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- \frac{5}{3}, \frac{670}{27})$

Minimum absolu : $(0, 10)$

Étape 5