Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ , $(- 3, 6)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 + 0$

Étape 1.1.1.5.2

Additionnez $6 x^{2} + 6 x - 36$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 36$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} + 6 x - 36$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} + 6 x - 36 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 x - 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 36 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 36 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 36$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 6$ .

$6 (x^{2} + x - 6) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 2, - 3$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$2 {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Étape 1.4.1.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Étape 1.4.1.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$2^{4} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 + 3 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 7$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$16 + 12 - 36 \cdot 2 + 7$

Étape 1.4.1.2.1.5

Multipliez $- 36$ par $2$ .

$16 + 12 - 72 + 7$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $16$ et $12$ .

$28 - 72 + 7$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $72$ de $28$ .

$- 44 + 7$

Étape 1.4.1.2.2.3

Additionnez $- 44$ et $7$ .

$- 37$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$2 {(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 27$ .

$- 54 + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 54 + 3 \cdot 9 - 36 \cdot - 3 + 7$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $3$ par $9$ .

$- 54 + 27 - 36 \cdot - 3 + 7$

Étape 1.4.2.2.1.5

Multipliez $- 36$ par $- 3$ .

$- 54 + 27 + 108 + 7$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.2.1

Additionnez $- 54$ et $27$ .

$- 27 + 108 + 7$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $- 27$ et $108$ .

$81 + 7$

Étape 1.4.2.2.2.3

Additionnez $81$ et $7$ .

$88$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(2, - 37), (- 3, 88)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(2, - 37)$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 6$ , de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée première $6 x^{2} + 6 x - 36$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = 6 {(- 6)}^{2} + 6 (- 6) - 36$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = 6 \cdot 36 + 6 (- 6) - 36$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $6$ par $36$ .

$f' (- 6) = 216 + 6 (- 6) - 36$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$f' (- 6) = 216 - 36 - 36$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $36$ de $216$ .

$f' (- 6) = 180 - 36$

Étape 3.2.2.2.2

Soustrayez $36$ de $180$ .

$f' (- 6) = 144$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $144$ .

$144$

Étape 3.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- 3, 2)$ dans la dérivée première $6 x^{2} + 6 x - 36$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 6 {(0)}^{2} + 6 (0) - 36$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 6 \cdot 0 + 6 (0) - 36$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 6 (0) - 36$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 36$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 - 36$

Étape 3.3.2.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$f' (0) = - 36$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 36$ .

$- 36$

Étape 3.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $6 x^{2} + 6 x - 36$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 6 {(4)}^{2} + 6 (4) - 36$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 6 \cdot 16 + 6 (4) - 36$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $6$ par $16$ .

$f' (4) = 96 + 6 (4) - 36$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$f' (4) = 96 + 24 - 36$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Additionnez $96$ et $24$ .

$f' (4) = 120 - 36$

Étape 3.4.2.2.2

Soustrayez $36$ de $120$ .

$f' (4) = 84$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $84$ .

$84$

Étape 3.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 3$ , $x = - 3$ est un maximum local.

$x = - 3$ est un maximum local

Étape 3.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2$ , $x = 2$ est un minimum local.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 3.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ .

$x = - 3$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

$x = - 3$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Minimum absolu : $(2, - 37)$

Étape 5