Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 14$ , $[- 2, 3]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 14$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 14]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 14]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 18 x + 24$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 24$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 24 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 24 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 4, 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 14$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{3} - 9 {(4)}^{2} + 24 (4) - 14$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 - 9 {(4)}^{2} + 24 (4) - 14$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$64 - 9 \cdot 16 + 24 (4) - 14$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $16$ .

$64 - 144 + 24 (4) - 14$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $24$ par $4$ .

$64 - 144 + 96 - 14$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $144$ de $64$ .

$- 80 + 96 - 14$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $- 80$ et $96$ .

$16 - 14$

Étape 1.4.1.2.2.3

Soustrayez $14$ de $16$ .

$2$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 24 (2) - 14$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 9 {(2)}^{2} + 24 (2) - 14$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 9 \cdot 4 + 24 (2) - 14$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$8 - 36 + 24 (2) - 14$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $24$ par $2$ .

$8 - 36 + 48 - 14$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $36$ de $8$ .

$- 28 + 48 - 14$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $- 28$ et $48$ .

$20 - 14$

Étape 1.4.2.2.2.3

Soustrayez $14$ de $20$ .

$6$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(4, 2), (2, 6)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(2, 6)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{3} - 9 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 14$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 9 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 14$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 - 9 \cdot 4 + 24 (- 2) - 14$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$- 8 - 36 + 24 (- 2) - 14$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$- 8 - 36 - 48 - 14$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $36$ de $- 8$ .

$- 44 - 48 - 14$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $48$ de $- 44$ .

$- 92 - 14$

Étape 3.1.2.2.3

Soustrayez $14$ de $- 92$ .

$- 106$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{3} - 9 {(3)}^{2} + 24 (3) - 14$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 9 {(3)}^{2} + 24 (3) - 14$

Étape 3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 24 (3) - 14$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$27 - 81 + 24 (3) - 14$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $24$ par $3$ .

$27 - 81 + 72 - 14$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $81$ de $27$ .

$- 54 + 72 - 14$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $- 54$ et $72$ .

$18 - 14$

Étape 3.2.2.2.3

Soustrayez $14$ de $18$ .

$4$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, - 106), (3, 4)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2, 6)$

Minimum absolu : $(- 2, - 106)$

Étape 5