Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} - 1$ , $[- 3, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 8 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 16 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 16 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{4} - 8 x^{2} - 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} - 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 - 1$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$0 + 0 - 1$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 1$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 - 1$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$16 - 32 - 1$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $32$ de $16$ .

$- 16 - 1$

Étape 1.4.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 16$ .

$- 17$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} - 1$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} - 1$

Étape 1.4.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 - 1$

Étape 1.4.3.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$16 - 32 - 1$

Étape 1.4.3.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 1.4.3.2.2.1

Soustrayez $32$ de $16$ .

$- 16 - 1$

Étape 1.4.3.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 16$ .

$- 17$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, - 1), (- 2, - 17), (2, - 17)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

${(- 3)}^{4} - 8 {(- 3)}^{2} - 1$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$81 - 8 {(- 3)}^{2} - 1$

Étape 2.1.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$81 - 8 \cdot 9 - 1$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $9$ .

$81 - 72 - 1$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $72$ de $81$ .

$9 - 1$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$8$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{4} - 8 {(4)}^{2} - 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$256 - 8 {(4)}^{2} - 1$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$256 - 8 \cdot 16 - 1$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $16$ .

$256 - 128 - 1$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $128$ de $256$ .

$128 - 1$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $128$ .

$127$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 3, 8), (4, 127)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(4, 127)$

Minimum absolu : $(- 2, - 17), (2, - 17)$

Étape 4