Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{9}{x - 1}$ , $[1, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{x - 1}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

Étape 1.1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$9 (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 1.1.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.5.2

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2}$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Associez $- 9$ et $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$9 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $9 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{9}{x - 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{9}{0}$

Étape 1.4.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{9}{0}$

Étape 2.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\frac{9}{(4) - 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{9}{3}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $9$ par $3$ .

$3$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(4, 3)$

Étape 3

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Minimum absolu : $(4, 3)$

Étape 5