Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 36$ et $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 36$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ .

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Étape 1.1.1.3.5.1.1

Soustrayez $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.2

Additionnez $2 \cdot 36 x$ et $0$ .

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.5.2.1

Multipliez $2$ par $36$ .

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 36$ .

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.3

Additionnez $72 x$ et $72 x$ .

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$144 x = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $144 x = 0$ par $144$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $144 x = 0$ par $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $144$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $144$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- 36}{0 + 36}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $36$ .

$\frac{- 36}{36}$

Étape 1.4.1.2.3

Divisez $- 36$ par $36$ .

$- 1$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, - 1)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 36$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 36$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 36)}^{2} - 36$ et ${(- 36)}^{2} + 36$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

Étape 2.1.2.1.1.2

Réécrivez $36$ comme $- 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

Étape 2.1.2.1.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Étape 2.1.2.1.1.4

Factorisez $- 36$ à partir de ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Étape 2.1.2.1.1.5

Factorisez $- 36$ à partir de $- 36$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Étape 2.1.2.1.1.6

Factorisez $- 36$ à partir de $- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Étape 2.1.2.1.1.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1.1.7.1

Factorisez $- 36$ à partir de $- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Étape 2.1.2.1.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Étape 2.1.2.1.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Étape 2.1.2.1.2

Additionnez $- 36$ et $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 36$ .

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $36$ et $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

Étape 2.1.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $37$ .

$\frac{- 35}{- 37}$

Étape 2.1.2.3.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{35}{37}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 36$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $36$ .

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun à ${(36)}^{2} - 36$ et ${(36)}^{2} + 36$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de ${(36)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $36$ à partir de $- 1 (- 36^{2} + 36)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

Étape 2.2.2.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1.5.1

Factorisez $36$ à partir de $36^{2}$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

Étape 2.2.2.1.5.2

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

Étape 2.2.2.1.5.3

Factorisez $36$ à partir de $36 \cdot 36 + 36 (1)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Étape 2.2.2.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Étape 2.2.2.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $- 36$ et $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.3.1

Additionnez $36$ et $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

Étape 2.2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 35$ .

$\frac{35}{37}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Minimum absolu : $(0, - 1)$

Étape 4