Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 + 5 x - 5 x^{2}$ , $[0, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 5 x - 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$0 + 5 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 5 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 5 - 5 (2 x)$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$0 + 5 - 10 x$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Additionnez $0$ et $5$ .

$5 - 10 x$

Étape 1.1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 10 x + 5$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 x + 5$ .

$- 10 x + 5$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 10 x + 5 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 10 x + 5 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 10 x = - 5$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 10 x = - 5$ par $- 10$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 10 x = - 5$ par $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 5}{- 10}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 10$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 5}{- 10}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 10}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $- 10$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5$ .

$x = \frac{- 5 (1)}{- 10}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 10$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $3 + 5 x - 5 x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

$3 + 5 (\frac{1}{2}) - 5 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 + \frac{5}{2} - 5 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$3 + \frac{5}{2} - 5 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 + \frac{5}{2} - 5 \frac{1}{2^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 + \frac{5}{2} - 5 (\frac{1}{4})$

Étape 1.4.1.2.1.5

Associez $- 5$ et $\frac{1}{4}$ .

$3 + \frac{5}{2} + \frac{- 5}{4}$

Étape 1.4.1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 1.4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3}{1} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 1.4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 1.4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{4}$

Étape 1.4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5}{4}$

Étape 1.4.1.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 2}{4} - \frac{5}{4}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cdot 4 + 5 \cdot 2 - 5}{4}$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 + 5 \cdot 2 - 5}{4}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{12 + 10 - 5}{4}$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Additionnez $12$ et $10$ .

$\frac{22 - 5}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Soustrayez $5$ de $22$ .

$\frac{17}{4}$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{2}, \frac{17}{4})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 + 5 (0) - 5 {(0)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$3 + 0 - 5 {(0)}^{2}$

Étape 2.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 + 0 - 5 \cdot 0$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$3 + 0 + 0$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$3 + 5 (4) - 5 {(4)}^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$3 + 20 - 5 {(4)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$3 + 20 - 5 \cdot 16$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $16$ .

$3 + 20 - 80$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.2.1

Additionnez $3$ et $20$ .

$23 - 80$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $80$ de $23$ .

$- 57$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 3), (4, - 57)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{1}{2}, \frac{17}{4})$

Minimum absolu : $(4, - 57)$

Étape 4