Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} - 144 x + 9$ , $[- 4, 5]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 6 x^{2} - 144 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 144 x$ par rapport à $x$ est $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 12 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 12 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $- 144$ par $1$ .

$12 x^{2} - 12 x - 144 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.5.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} - 12 x - 144 + 0$

Étape 1.1.1.5.2

Additionnez $12 x^{2} - 12 x - 144$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 12 x - 144$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 12 x - 144$ .

$12 x^{2} - 12 x - 144$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 12 x - 144 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 12 x - 144 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} - 12 x - 144$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 12 x - 144 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- x) - 144 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $- 144$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- x) + 12 (- 12) = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2}) + 12 (- x)$ .

$12 (x^{2} - x) + 12 (- 12) = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} - x) + 12 (- 12)$ .

$12 (x^{2} - x - 12) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 4) (x + 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x - 4) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 4, - 3$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $4 x^{3} - 6 x^{2} - 144 x + 9$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$4 {(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2} - 144 \cdot 4 + 9$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.2.1.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{3}$ .

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Étape 1.4.1.2.1.1.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$4^{1} {(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2} - 144 \cdot 4 + 9$

Étape 1.4.1.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4^{1 + 3} - 6 {(4)}^{2} - 144 \cdot 4 + 9$

Étape 1.4.1.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$4^{4} - 6 {(4)}^{2} - 144 \cdot 4 + 9$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$256 - 6 {(4)}^{2} - 144 \cdot 4 + 9$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$256 - 6 \cdot 16 - 144 \cdot 4 + 9$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $16$ .

$256 - 96 - 144 \cdot 4 + 9$

Étape 1.4.1.2.1.5

Multipliez $- 144$ par $4$ .

$256 - 96 - 576 + 9$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $96$ de $256$ .

$160 - 576 + 9$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $576$ de $160$ .

$- 416 + 9$

Étape 1.4.1.2.2.3

Additionnez $- 416$ et $9$ .

$- 407$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$4 {(- 3)}^{3} - 6 {(- 3)}^{2} - 144 \cdot - 3 + 9$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 27 - 6 {(- 3)}^{2} - 144 \cdot - 3 + 9$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$- 108 - 6 {(- 3)}^{2} - 144 \cdot - 3 + 9$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 108 - 6 \cdot 9 - 144 \cdot - 3 + 9$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$- 108 - 54 - 144 \cdot - 3 + 9$

Étape 1.4.2.2.1.5

Multipliez $- 144$ par $- 3$ .

$- 108 - 54 + 432 + 9$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $54$ de $- 108$ .

$- 162 + 432 + 9$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $- 162$ et $432$ .

$270 + 9$

Étape 1.4.2.2.2.3

Additionnez $270$ et $9$ .

$279$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(4, - 407), (- 3, 279)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$4 {(- 4)}^{3} - 6 {(- 4)}^{2} - 144 \cdot - 4 + 9$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 64 - 6 {(- 4)}^{2} - 144 \cdot - 4 + 9$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 64$ .

$- 256 - 6 {(- 4)}^{2} - 144 \cdot - 4 + 9$

Étape 2.1.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- 256 - 6 \cdot 16 - 144 \cdot - 4 + 9$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $16$ .

$- 256 - 96 - 144 \cdot - 4 + 9$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $- 144$ par $- 4$ .

$- 256 - 96 + 576 + 9$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $96$ de $- 256$ .

$- 352 + 576 + 9$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $- 352$ et $576$ .

$224 + 9$

Étape 2.1.2.2.3

Additionnez $224$ et $9$ .

$233$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$4 {(5)}^{3} - 6 {(5)}^{2} - 144 \cdot 5 + 9$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 125 - 6 {(5)}^{2} - 144 \cdot 5 + 9$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $125$ .

$500 - 6 {(5)}^{2} - 144 \cdot 5 + 9$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$500 - 6 \cdot 25 - 144 \cdot 5 + 9$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $25$ .

$500 - 150 - 144 \cdot 5 + 9$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $- 144$ par $5$ .

$500 - 150 - 720 + 9$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $150$ de $500$ .

$350 - 720 + 9$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $720$ de $350$ .

$- 370 + 9$

Étape 2.2.2.2.3

Additionnez $- 370$ et $9$ .

$- 361$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 4, 233), (5, - 361)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 3, 279)$

Minimum absolu : $(4, - 407)$

Étape 4