Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=18x^2-3/2x^3 , [0,12]
,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.4
Associez et .
Étape 1.1.1.3.5
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.6
Associez et .
Étape 1.1.1.3.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.1.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 1.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.2.1.1.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 1.2.2.2.1.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.2.2.1.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.2.3
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.4
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.5
Définissez égal à .
Étape 1.2.6
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.6.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.4.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.4.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.4.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 1.4.2.2.1.4.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.2.2.1.4.3
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.2.2.1.4.4
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.4.3
Indiquez tous les points.
Étape 2
Évaluez sur les points finaux inclus.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Remplacez par .
Étape 2.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.1.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.4.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.4.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.2
Additionnez et .
Étape 2.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Remplacez par .
Étape 2.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.4.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 2.2.2.1.4.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.2.1.4.3
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.2.1.4.4
Réécrivez l’expression.
Étape 2.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.3
Indiquez tous les points.
Étape 3
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 4