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Calcul infinitésimal Exemples
,
Étape 1
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Évaluez .
Étape 1.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3
Évaluez .
Étape 1.1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.4
Associez et .
Étape 1.1.1.3.5
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.6
Associez et .
Étape 1.1.1.3.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.1.1.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Étape 1.2.2.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 1.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 1.2.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.2.2.2.1.1.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 1.2.2.2.1.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.2.2.1.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.2.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.4
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.5
Définissez égal à .
Étape 1.2.6
Définissez égal à et résolvez .
Étape 1.2.6.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.6.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Étape 1.3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Étape 1.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.4.1.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.4
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.1.4.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.4.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Étape 1.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.4.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.4.2.2.1.4.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 1.4.2.2.1.4.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.2.2.1.4.3
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.2.2.1.4.4
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.4.3
Indiquez tous les points.
Étape 2
Étape 2.1
Évaluez sur .
Étape 2.1.1
Remplacez par .
Étape 2.1.2
Simplifiez
Étape 2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.1.4
Multipliez .
Étape 2.1.2.1.4.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.4.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.2
Additionnez et .
Étape 2.2
Évaluez sur .
Étape 2.2.1
Remplacez par .
Étape 2.2.2
Simplifiez
Étape 2.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.2.2.1.4.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 2.2.2.1.4.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.2.1.4.3
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.2.1.4.4
Réécrivez l’expression.
Étape 2.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.3
Indiquez tous les points.
Étape 3
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 4