Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = 2 x^{2} - x - 1$ , $[3, 5]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x - 1 + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $4 x - 1$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x - 1$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $4 x - 1$ .

$4 x - 1$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x - 1 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $2 x^{2} - x - 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{4}$ .

$2 {(\frac{1}{4})}^{2} - (\frac{1}{4}) - 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$2 \frac{1^{2}}{4^{2}} - (\frac{1}{4}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{4^{2}} - (\frac{1}{4}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{1}{16}) - (\frac{1}{4}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - (\frac{1}{4}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - (\frac{1}{4}) - 1$

Étape 1.4.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} - (\frac{1}{4}) - 1$

$\frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 1$

Étape 1.4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 1$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} - 1$

Étape 1.4.1.2.2.3

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1}$

Étape 1.4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 1.4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.1.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{2 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.1.2.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2 - 1 \cdot 8}{8}$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{1 - 2 - 8}{8}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 - 8}{8}$

Étape 1.4.1.2.4.3

Soustrayez $8$ de $- 1$ .

$\frac{- 9}{8}$

Étape 1.4.1.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{8}$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$2 {(3)}^{2} - (3) - 1$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 9 - (3) - 1$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 - (3) - 1$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$18 - 3 - 1$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $3$ de $18$ .

$15 - 1$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $15$ .

$14$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$2 {(5)}^{2} - (5) - 1$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 25 - (5) - 1$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$50 - (5) - 1$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$50 - 5 - 1$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $5$ de $50$ .

$45 - 1$

Étape 3.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $45$ .

$44$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(3, 14), (5, 44)$

Étape 4

Comparez les valeurs $g (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(5, 44)$

Minimum absolu : $(3, 14)$

Étape 5