Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + e^{- 4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 4 x$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Étape 1.1.1.2.5

Déplacez $- 4$ à gauche de $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $e^{- 4 x}$ par $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Étape 1.2.5

Développez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.1

Développez $\ln (e^{- 4 x})$ en déplaçant $- 4 x$ hors du logarithme.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Étape 1.2.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Étape 1.2.5.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Étape 1.2.6

Divisez chaque terme dans $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Étape 1.2.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x + e^{- 4 x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ comme $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Étape 1.4.1.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Étape 1.4.1.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Étape 1.4.1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.4.1.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ dans le numérateur.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Étape 1.4.1.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Étape 1.4.1.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez $\ln (\frac{1}{4})$ par $1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Étape 1.4.1.2.8

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$- 2 + e^{8}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$3 + e^{- 12}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 2, - 2 + e^{8})$

Minimum absolu : $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Étape 4