Calcul infinitésimal Exemples

$10 \sin (x y) = 2 x + 3 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (10 \sin (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 \sin (x y)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$10 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$10 (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$10 \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$10 \cos (x y) (x y' + y)$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 \cos (x y) (x y') + 10 \cos (x y) y$

Étape 2.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 + 3 y'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y' + 2$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$ .

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

Étape 5.2

Soustrayez $3 y'$ des deux côtés de l’équation.

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) - 3 y' = 2$

Étape 5.3

Soustrayez $10 y \cos (x y)$ des deux côtés de l’équation.

$10 x y' \cos (x y) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $10 x y' \cos (x y) - 3 y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $10 x y' \cos (x y)$ .

$y' (10 x \cos (x y)) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y'$ .

$y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3 = 2 - 10 y \cos (x y)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3$ .

$y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ par $10 x \cos (x y) - 3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ par $10 x \cos (x y) - 3$ .

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $10 x \cos (x y) - 3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} - \frac{10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Étape 5.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Étape 5.5.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 - 10 y \cos (x y)$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y' = \frac{2 (1) - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

Étape 5.5.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10 y \cos (x y)$ .

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Étape 5.5.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))$ .

$y' = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2.1.2.1.2

Divisez $1 - 5 y \cos (x y)$ par $1$ .

$1 - 5 y \cos (x y) = \frac{0}{2}$

Étape 7.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$1 - 5 y \cos (x y) = 0$

Étape 7.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 y \cos (x y) = - 1$

Étape 7.2.3

Divisez chaque terme dans $- 5 y \cos (x y) = - 1$ par $- 5 y$ et simplifiez.

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Étape 7.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 5 y \cos (x y) = - 1$ par $- 5 y$ .

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 7.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Étape 7.2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

Étape 7.2.3.2.2.2

Divisez $\cos (x y)$ par $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{- 5 y}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (x y) = \frac{1}{5 y}$

Étape 7.2.4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$

Étape 7.2.5

Divisez chaque terme dans $x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 7.2.5.1

Divisez chaque terme dans $x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ par $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Étape 7.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Étape 7.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $10 \sin ((\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) y)$ .

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Étape 8.1.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.1.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 8.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$10 \sin (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y} y) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$10 \sin (\arccos (\frac{1}{5 y})) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.1.2

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 8.1.1.2.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ , $(\frac{1}{5 y}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (\frac{1}{5 y})$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (\frac{1}{5 y}))$ est $\sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}}$ .

$10 \sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.1.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$10 \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{1}{5 y}$ .

$10 \sqrt{(1 + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$10 \sqrt{(\frac{5 y}{5 y} + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (\frac{5 y}{5 y} - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} \cdot \frac{5 y - 1}{5 y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.3.5

Multipliez $\frac{5 y + 1}{5 y}$ par $\frac{5 y - 1}{5 y}$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{5 y (5 y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.4

Associez les exposants.

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Étape 8.1.4.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y \cdot y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.4.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.4.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y^{1})}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{1 + 1}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.5

Réécrivez $\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}$ comme ${(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))$ .

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Étape 8.1.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(5 y + 1) (5 y - 1)$ .

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.5.2

Factorisez la puissance parfaite ${(5 y)}^{2}$ dans $25 y^{2}$ .

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}$ .

$10 \sqrt{{(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$10 (\frac{1}{5 y} \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.7

Associez $\frac{1}{5 y}$ et $\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}$ .

$10 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.8

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.8.2

Factorisez $5$ à partir de $5 y$ .

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 (y)} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.1.9

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

Étape 8.2

Associez $2$ et $\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$ .

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = \frac{2 \arccos (\frac{1}{5 y})}{y} + 3 y$

Étape 8.3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$y \approx 0.24419009, 2.99063055$

Étape 9

Résolvez pour $x$ quand $y$ est $0.24419009$ .

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$

Étape 9.2

Simplifiez $\frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$ .

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Étape 9.2.1

Multipliez $5$ par $0.24419009$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{1.22095048})}{0.24419009}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.2.1

Divisez $1$ par $1.22095048$ .

$x = \frac{\arccos (0.81903403)}{0.24419009}$

Étape 9.2.2.2

Évaluez $\arccos (0.81903403)$ .

$x = \frac{0.61107095}{0.24419009}$

Étape 9.2.3

Divisez $0.61107095$ par $0.24419009$ .

$x = 2.50243954$

Étape 10

Résolvez pour $x$ quand $y$ est $2.99063055$ .

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$

Étape 10.2

Simplifiez $\frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $5$ par $2.99063055$ .

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{14.95315279})}{2.99063055}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.2.1

Divisez $1$ par $14.95315279$ .

$x = \frac{\arccos (0.06687552)}{2.99063055}$

Étape 10.2.2.2

Évaluez $\arccos (0.06687552)$ .

$x = \frac{1.50387084}{2.99063055}$

Étape 10.2.3

Divisez $1.50387084$ par $2.99063055$ .

$x = 0.50286079$

Étape 11

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(2.50243954, 0.24419009)$

$(0.50286079, 2.99063055)$

Étape 12