Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = x^{2} + y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = 2 x + y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' - y' = 2 x$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y' - y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 x$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (2 y - 1) = 2 x$ par $2 y - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 y - 1) = 2 x$ par $2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y - 1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $0^{2} + y$ .

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Étape 8.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y^{2} = 0 + y$

Étape 8.1.2

Additionnez $0$ et $y$ .

$y^{2} = y$

Étape 8.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - y = 0$

Étape 8.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - y$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y \cdot y - y = 0$

Étape 8.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 1 = 0$

Étape 8.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$y (y - 1) = 0$

Étape 8.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$y - 1 = 0$

Étape 8.5

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 8.6

Définissez $y - 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.6.1

Définissez $y - 1$ égal à $0$ .

$y - 1 = 0$

Étape 8.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 1$

Étape 8.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y (y - 1) = 0$ vraie.

$y = 0, 1$

Étape 9

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(0, 1)$

Étape 10