Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2} = 12$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2}) = \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x^{2} y + 2 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Étape 2.3.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 2 (2 x y y' + y^{2})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 2 (2 x y y' + y^{2})$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 2 (2 x y y') + 2 y^{2}$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 (y x) + 2 (2 x y y') + 2 y^{2}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 y x + 4 x y y' + 2 y^{2}$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y'$

Étape 3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $2 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} y' - 6 x y + 4 x y y' = - 3 x^{2} - 2 y^{2}$

Étape 5.1.3

Ajoutez $6 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} y' + 4 x y y' = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.2

Factorisez $x y'$ à partir de $- 3 x^{2} y' + 4 x y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x y'$ à partir de $- 3 x^{2} y'$ .

$x y' (- 3 x) + 4 x y y' = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $x y'$ à partir de $4 x y y'$ .

$x y' (- 3 x) + x y' (4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' (- 3 x) + x y' (4 y)$ .

$x y' (- 3 x + 4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x y' (- 3 x + 4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$ par $x (- 3 x + 4 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' (- 3 x + 4 y) = - 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 x y$ par $x (- 3 x + 4 y)$ .

$\frac{x y' (- 3 x + 4 y)}{x (- 3 x + 4 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (- 3 x + 4 y)}{x (- 3 x + 4 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 3 x + 4 y)}{- 3 x + 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 3 x + 4 y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 3 x + 4 y)}{- 3 x + 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 3 x}{- 3 x + 4 y} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} + \frac{- 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 x y}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{3 x}{- 3 x + 4 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{3 x}{- 3 x + 4 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- 3 x + 4 y) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{3 x}{- 3 x + 4 y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{3 x \cdot x}{(- 3 x + 4 y) x} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- 3 x + 4 y) x$ .

$y' = - \frac{3 x \cdot x}{x (- 3 x + 4 y)} - \frac{2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x \cdot x - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.5.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{- 3 (x \cdot x) - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

Étape 5.3.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$

Étape 5.3.3.6

Pour écrire $\frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y}{- 3 x + 4 y} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 5.3.3.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (- 3 x + 4 y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $\frac{6 y}{- 3 x + 4 y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y x}{(- 3 x + 4 y) x}$

Étape 5.3.3.7.2

Réorganisez les facteurs de $(- 3 x + 4 y) x$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2}}{x (- 3 x + 4 y)} + \frac{6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 y^{2} + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 2 y^{2} + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (2 y^{2}) + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (2 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 2 y^{2}) + 6 y x}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $6 y x$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 2 y^{2}) - (- 6 y x)}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} + 2 y^{2}) - (- 6 y x)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.14

Réécrivez $- (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)$ comme $- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 3 x + 4 y)}$

Étape 5.3.3.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- (3 x) + 4 y)}$

Étape 5.3.3.16

Factorisez $- 1$ à partir de $4 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- (3 x) - (- 4 y))}$

Étape 5.3.3.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - (- 4 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- (3 x - 4 y))}$

Étape 5.3.3.18

Réécrivez $- (3 x - 4 y)$ comme $- 1 (3 x - 4 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 1 (3 x - 4 y))}$

Étape 5.3.3.19

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x)}{x (- 1 (3 x - 4 y))}$

Étape 5.3.3.20

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x}{x (3 x - 4 y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x}{x (3 x - 4 y)}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 6 y x = 0$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 6 y$ et $c = 2 y^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 y \pm \sqrt{{(- 6 y)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (2 y^{2}))}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{{(- 6 y)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (2 y^{2}))}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.2

Laissez $u = 3 \cdot (2 y^{2})$ . Remplacez toutes les occurrences de $3 \cdot (2 y^{2})$ par $u$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 6 y$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{36 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $36 y^{2} - 4 u$ .

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Étape 7.2.3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $36 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (9 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - u)}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 \cdot (2 y^{2})$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - (3 \cdot (2 y^{2})))}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.5

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1.5.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - (6 y^{2}))}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.5.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - 6 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.5.2

Soustrayez $6 y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (3 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 \cdot (3 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{12 y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.7

Réécrivez $12 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (3) y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.7.3

Déplacez $3$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{2^{2} y^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.7.4

Réécrivez $2^{2} y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 y \pm 2 y \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 y \pm 2 y \sqrt{3}}{6}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez $\frac{6 y \pm 2 y \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 y \pm y \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{{(- 6 y)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (2 y^{2}))}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.2

Laissez $u = 3 \cdot (2 y^{2})$ . Remplacez toutes les occurrences de $3 \cdot (2 y^{2})$ par $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 6 y$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.2.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{36 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $36 y^{2} - 4 u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $36 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (9 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - u)}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 \cdot (2 y^{2})$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - (3 \cdot (2 y^{2})))}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1.5.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - (6 y^{2}))}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.5.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - 6 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.5.2

Soustrayez $6 y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (3 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 \cdot (3 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{12 y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.7

Réécrivez $12 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (3) y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.7.3

Déplacez $3$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{2^{2} y^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.7.4

Réécrivez $2^{2} y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 y \pm 2 y \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 y \pm 2 y \sqrt{3}}{6}$

Étape 7.2.4.3

Simplifiez $\frac{6 y \pm 2 y \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 y \pm y \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 y + y \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.2.4.5

Factorisez $y$ à partir de $3 y + y \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.5.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$x = \frac{y \cdot 3 + y \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.2.4.5.2

Factorisez $y$ à partir de $y \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y \cdot 3 + y (\sqrt{3})}{3}$

Étape 7.2.4.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 3 + y (\sqrt{3})$ .

$x = \frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}$

Étape 7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{{(- 6 y)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (2 y^{2}))}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.2

Laissez $u = 3 \cdot (2 y^{2})$ . Remplacez toutes les occurrences de $3 \cdot (2 y^{2})$ par $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 6 y$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.2.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{36 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $36 y^{2} - 4 u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $36 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (9 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - u)}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 \cdot (2 y^{2})$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - (3 \cdot (2 y^{2})))}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1.5.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - (6 y^{2}))}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.5.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (9 y^{2} - 6 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.5.2

Soustrayez $6 y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (3 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 \cdot (3 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{12 y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.7

Réécrivez $12 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{4 (3) y^{2}}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 y^{2})}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.7.3

Déplacez $3$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{2^{2} y^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.7.4

Réécrivez $2^{2} y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$x = \frac{6 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 y \pm 2 y \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 y \pm 2 y \sqrt{3}}{6}$

Étape 7.2.5.3

Simplifiez $\frac{6 y \pm 2 y \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 y \pm y \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 y - y \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.2.5.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.5.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y - y \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.5.1.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$x = \frac{y \cdot 3 - y \sqrt{3}}{3}$

Étape 7.2.5.5.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y \cdot 3 + y (- 1 \sqrt{3})}{3}$

Étape 7.2.5.5.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 3 + y (- 1 \sqrt{3})$ .

$x = \frac{y (3 - 1 \sqrt{3})}{3}$

Étape 7.2.5.5.2

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$x = \frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}$

$x = \frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}$

$x = \frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}$

$x = \frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}$

$x = \frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}$

$x = \frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez ${(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{3} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}$ .

$\frac{{(y (3 + \sqrt{3}))}^{3}}{3^{3}} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $y (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{y^{3} {(3 + \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{y^{3} {(3 + \sqrt{3})}^{3}}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{y^{3} (3^{3} + 3 \cdot 3^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.4.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{y^{3} (27 + 3 \cdot 3^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.4.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3} (27 + 3^{1} \cdot 3^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3} (27 + 3^{1 + 2} \sqrt{3} + 3 \cdot 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{y^{3} (27 + 3^{3} \sqrt{3} + 3 \cdot 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 9 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{1} + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 9 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.6

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 27 + {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 27 + \sqrt{3^{3}})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 27 + \sqrt{27})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.9

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.1.1.4.9.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 27 + \sqrt{9 (3)})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.9.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 27 + \sqrt{3^{2} \cdot 3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.4.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{y^{3} (27 + 27 \sqrt{3} + 27 + 3 \sqrt{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.5

Additionnez $27$ et $27$ .

$\frac{y^{3} (54 + 27 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.6

Additionnez $27 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{y^{3} (54 + 30 \sqrt{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.7

Annulez le facteur commun à $54 + 30 \sqrt{3}$ et $27$ .

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Étape 8.1.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $y^{3} (54 + 30 \sqrt{3})$ .

$\frac{3 (y^{3} (18 + 10 \sqrt{3}))}{27} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.1.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 (y^{3} (18 + 10 \sqrt{3}))}{3 (9)} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (y^{3} (18 + 10 \sqrt{3}))}{3 \cdot 9} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 3 {(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.1.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 3 \frac{{(y (3 + \sqrt{3}))}^{2}}{3^{2}} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $y (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 3 \frac{y^{2} {(3 + \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 3 \frac{y^{2} {(3 + \sqrt{3})}^{2}}{9} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.1.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} + 3 (- 1) \frac{y^{2} {(3 + \sqrt{3})}^{2}}{9} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.10.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{y^{2} {(3 + \sqrt{3})}^{2}}{3 \cdot 3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{y^{2} {(3 + \sqrt{3})}^{2}}{3 \cdot 3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} {(3 + \sqrt{3})}^{2}}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.11

Réécrivez ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} ((3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.12

Développez $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.1.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1.1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.13.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.13.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.13.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9})}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.13.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}})}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.13.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3)}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.13.3

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (12 + 6 \sqrt{3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.14

Annulez le facteur commun à $12 + 6 \sqrt{3}$ et $3$ .

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Étape 8.1.1.14.1

Factorisez $3$ à partir de $y^{2} (12 + 6 \sqrt{3})$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{3 (y^{2} (4 + 2 \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.1.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{3 (y^{2} (4 + 2 \sqrt{3}))}{3 (1)} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{3 (y^{2} (4 + 2 \sqrt{3}))}{3 \cdot 1} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (4 + 2 \sqrt{3})}{1} y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.14.2.4

Divisez $y^{2} (4 + 2 \sqrt{3})$ par $1$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y^{2} (4 + 2 \sqrt{3})) y + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.15

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.1.15.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y \cdot y^{2} (4 + 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.15.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 8.1.1.15.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y^{1} y^{2} (4 + 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y^{1 + 2} (4 + 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.15.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y^{3} (4 + 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y^{3} \cdot 4 + y^{3} (2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.17

Déplacez $4$ à gauche de $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (4 \cdot y^{3} + y^{3} (2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.18

Déplacez $2$ à gauche de $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (4 y^{3} + 2 y^{3} \sqrt{3}) + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.19

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (4 y^{3}) - 1 (2 y^{3} \sqrt{3}) + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.20

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} - 1 (2 y^{3} \sqrt{3}) + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.21

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} - 2 (y^{3} \sqrt{3}) + 2 (\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.22

Associez $2$ et $\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 (y (3 + \sqrt{3}))}{3} \cdot y^{2} = 12$

Étape 8.1.1.23

Multipliez $\frac{2 y (3 + \sqrt{3})}{3} y^{2}$ .

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Étape 8.1.1.23.1

Associez $\frac{2 y (3 + \sqrt{3})}{3}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y (3 + \sqrt{3}) y^{2}}{3} = 12$

Étape 8.1.1.23.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.1.23.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 (y^{2} y) (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.1.23.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 8.1.1.23.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 (y^{2} y^{1}) (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.1.23.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{2 + 1} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.1.23.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.2

Pour écrire $- 4 y^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} \cdot \frac{9}{9} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1.3.1

Associez $- 4 y^{3}$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{- 4 y^{3} \cdot 9}{9} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3}) - 4 y^{3} \cdot 9}{9} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} (18 + 10 \sqrt{3}) - 4 y^{3} \cdot 9$ .

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Étape 8.1.4.1.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $- 4 y^{3} \cdot 9$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3}) + y^{3} (- 4 \cdot 9)}{9} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.4.1.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} (18 + 10 \sqrt{3}) + y^{3} (- 4 \cdot 9)$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3} - 4 \cdot 9)}{9} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$\frac{y^{3} (18 + 10 \sqrt{3} - 36)}{9} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.4.3

Soustrayez $36$ de $18$ .

$\frac{y^{3} (- 18 + 10 \sqrt{3})}{9} - 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.5

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 8.1.5.1

Écrivez $- 2 y^{3} \sqrt{3}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{y^{3} (- 18 + 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{- 2 y^{3} \sqrt{3}}{1} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $\frac{- 2 y^{3} \sqrt{3}}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{y^{3} (- 18 + 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{- 2 y^{3} \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.5.3

Multipliez $\frac{- 2 y^{3} \sqrt{3}}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{y^{3} (- 18 + 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{- 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 8.1.5.4

Multipliez $\frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{3} (- 18 + 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{- 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{3} = 12$

Étape 8.1.5.5

Multipliez $\frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3})}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{3} (- 18 + 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{- 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} = 12$

Étape 8.1.5.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{y^{3} (- 18 + 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{- 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{2 y^{3} (3 + \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 8.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{3} (- 18 + 10 \sqrt{3}) - 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9 + 2 y^{3} (3 + \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 8.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} \cdot - 18 + y^{3} (10 \sqrt{3}) - 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9 + 2 y^{3} (3 + \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 8.1.7.2

Déplacez $- 18$ à gauche de $y^{3}$ .

$\frac{- 18 \cdot y^{3} + y^{3} (10 \sqrt{3}) - 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9 + 2 y^{3} (3 + \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 8.1.7.3

Déplacez $10$ à gauche de $y^{3}$ .

$\frac{- 18 y^{3} + 10 y^{3} \sqrt{3} - 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9 + 2 y^{3} (3 + \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 8.1.7.4

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$\frac{- 18 y^{3} + 10 y^{3} \sqrt{3} - 18 y^{3} \sqrt{3} + 2 y^{3} (3 + \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 8.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 18 y^{3} + 10 y^{3} \sqrt{3} - 18 y^{3} \sqrt{3} + (2 y^{3} \cdot 3 + 2 y^{3} \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 8.1.7.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- 18 y^{3} + 10 y^{3} \sqrt{3} - 18 y^{3} \sqrt{3} + (6 y^{3} + 2 y^{3} \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 8.1.7.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 18 y^{3} + 10 y^{3} \sqrt{3} - 18 y^{3} \sqrt{3} + 6 y^{3} \cdot 3 + 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 3}{9} = 12$

Étape 8.1.7.8

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{- 18 y^{3} + 10 y^{3} \sqrt{3} - 18 y^{3} \sqrt{3} + 18 y^{3} + 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 3}{9} = 12$

Étape 8.1.7.9

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- 18 y^{3} + 10 y^{3} \sqrt{3} - 18 y^{3} \sqrt{3} + 18 y^{3} + 6 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 8.1.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.1.8.1

Associez les termes opposés dans $- 18 y^{3} + 10 y^{3} \sqrt{3} - 18 y^{3} \sqrt{3} + 18 y^{3} + 6 y^{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 8.1.8.1.1

Additionnez $- 18 y^{3}$ et $18 y^{3}$ .

$\frac{10 y^{3} \sqrt{3} - 18 y^{3} \sqrt{3} + 0 + 6 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 8.1.8.1.2

Additionnez $10 y^{3} \sqrt{3} - 18 y^{3} \sqrt{3}$ et $0$ .

$\frac{10 y^{3} \sqrt{3} - 18 y^{3} \sqrt{3} + 6 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 8.1.8.2

Soustrayez $18 y^{3} \sqrt{3}$ de $10 y^{3} \sqrt{3}$ .

$\frac{- 8 y^{3} \sqrt{3} + 6 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 8.1.8.3

Additionnez $- 8 y^{3} \sqrt{3}$ et $6 y^{3} \sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 8.1.8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} (- \frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{9}) = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez $\frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} (- \frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{9})$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{9}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot \frac{- 2 y^{3} \sqrt{3}}{9} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{1}{2 (- \frac{\sqrt{3}}{9})} \cdot \frac{- 2 y^{3} \sqrt{3}}{9} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{3} \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{2 (- \frac{\sqrt{3}}{9})} \cdot \frac{2 (- y^{3} \sqrt{3})}{9} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 (- \frac{\sqrt{3}}{9})} \cdot \frac{2 (- y^{3} \sqrt{3})}{9} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot \frac{- y^{3} \sqrt{3}}{9} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{9}}$ par $\frac{- y^{3} \sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{- y^{3} \sqrt{3}}{- \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot 9} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{3} \sqrt{3}}{- 9 \frac{\sqrt{3}}{9}} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.4

Associez $- 9$ et $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{- y^{3} \sqrt{3}}{\frac{- 9 \sqrt{3}}{9}} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.5

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1.5.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 \sqrt{3}$ .

$\frac{- y^{3} \sqrt{3}}{\frac{9 (- \sqrt{3})}{9}} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.5.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\frac{- y^{3} \sqrt{3}}{\frac{9 (- \sqrt{3})}{9 (1)}} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- y^{3} \sqrt{3}}{\frac{9 (- \sqrt{3})}{9 \cdot 1}} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- y^{3} \sqrt{3}}{\frac{- \sqrt{3}}{1}} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.5.2.4

Divisez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{- y^{3} \sqrt{3}}{- \sqrt{3}} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.6

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.7

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 8.3.1.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.1.1.7.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $\frac{1}{2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.2.1.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y^{3} = \frac{1}{- 2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.2.1.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$y^{3} = \frac{1}{\frac{- 2 \sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.2.1.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = \frac{1}{- \frac{2 \sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 8.3.2.1.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y^{3} = \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{2 \sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.2.1.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{1}{\frac{2 \sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 8.3.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{3} = - (1 \frac{9}{2 \sqrt{3}}) \cdot 12$

Étape 8.3.2.1.4

Multipliez $\frac{9}{2 \sqrt{3}}$ par $1$ .

$y^{3} = - \frac{9}{2 \sqrt{3}} \cdot 12$

Étape 8.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{2 \sqrt{3}}$ dans le numérateur.

$y^{3} = \frac{- 9}{2 \sqrt{3}} \cdot 12$

Étape 8.3.2.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$y^{3} = \frac{- 9}{2 (\sqrt{3})} \cdot 12$

Étape 8.3.2.1.5.3

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y^{3} = \frac{- 9}{2 (\sqrt{3})} \cdot (2 (6))$

Étape 8.3.2.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = \frac{- 9}{2 \sqrt{3}} \cdot (2 \cdot 6)$

Étape 8.3.2.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = \frac{- 9}{\sqrt{3}} \cdot 6$

Étape 8.3.2.1.6

Associez $\frac{- 9}{\sqrt{3}}$ et $6$ .

$y^{3} = \frac{- 9 \cdot 6}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.2.1.7.1

Multipliez $- 9$ par $6$ .

$y^{3} = \frac{- 54}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{54}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.1.8

Multipliez $\frac{54}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y^{3} = - (\frac{54}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 8.3.2.1.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.2.1.9.1

Multipliez $\frac{54}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.1.9.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.1.9.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 8.3.2.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.2.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3.2.1.9.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.2.1.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.2.1.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.2.1.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.1.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.1.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.1.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 8.3.2.1.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$y^{3} = - \frac{54 \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.3.2.1.10

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 8.3.2.1.10.1

Factorisez $3$ à partir de $54 \sqrt{3}$ .

$y^{3} = - \frac{3 (18 \sqrt{3})}{3}$

Étape 8.3.2.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y^{3} = - \frac{3 (18 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Étape 8.3.2.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = - \frac{3 (18 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Étape 8.3.2.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = - \frac{18 \sqrt{3}}{1}$

Étape 8.3.2.1.10.2.4

Divisez $18 \sqrt{3}$ par $1$ .

$y^{3} = - (18 \sqrt{3})$

Étape 8.3.2.1.11

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$y^{3} = - 18 \sqrt{3}$

Étape 8.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- 18 \sqrt{3}}$

Étape 8.5

Simplifiez $\sqrt[3]{- 18 \sqrt{3}}$ .

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Étape 8.5.1

Réécrivez $- 18 \sqrt{3}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \cdot (18 \sqrt{3})$ .

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Étape 8.5.1.1

Réécrivez $- 18$ comme $- 1 (18)$ .

$y = \sqrt[3]{- 1 (18) \sqrt{3}}$

Étape 8.5.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 18 \sqrt{3}}$

Étape 8.5.1.3

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \cdot 18 \sqrt{3}}$

Étape 8.5.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \cdot (18 \sqrt{3})}$

Étape 8.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{18 \sqrt{3}}$

Étape 8.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.5.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - 1 \sqrt[3]{18 \sqrt{3}}$

Étape 8.5.3.2

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{18 \sqrt{3}}$ comme $- \sqrt[3]{18 \sqrt{3}}$ .

$y = - \sqrt[3]{18 \sqrt{3}}$

Étape 9

Résolvez $y$ .

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Étape 9.1

Simplifiez ${(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{3} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}$ .

$\frac{{(y (3 - \sqrt{3}))}^{3}}{3^{3}} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $y (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{y^{3} {(3 - \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{y^{3} {(3 - \sqrt{3})}^{3}}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{y^{3} (3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.4.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{y^{3} (27 + 3 \cdot 3^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.1.4.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 9.1.1.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3} (27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3} (27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{y^{3} (27 + 3^{3} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{y^{3} (27 + 27 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 9 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 9 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.8

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 9 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.1.1.4.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.1.4.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 9 \cdot 3^{1} + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.9.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 9 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.10

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 27 + {(- \sqrt{3})}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 27 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 27 - {\sqrt{3}}^{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.13

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 27 - \sqrt{3^{3}})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.14

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 27 - \sqrt{27})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.15

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 9.1.1.4.15.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 27 - \sqrt{9 (3)})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.15.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 27 - \sqrt{3^{2} \cdot 3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 27 - (3 \sqrt{3}))}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.4.17

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} (27 - 27 \sqrt{3} + 27 - 3 \sqrt{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.5

Additionnez $27$ et $27$ .

$\frac{y^{3} (54 - 27 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.6

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 27 \sqrt{3}$ .

$\frac{y^{3} (54 - 30 \sqrt{3})}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.7

Annulez le facteur commun à $54 - 30 \sqrt{3}$ et $27$ .

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Étape 9.1.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $y^{3} (54 - 30 \sqrt{3})$ .

$\frac{3 (y^{3} (18 - 10 \sqrt{3}))}{27} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 (y^{3} (18 - 10 \sqrt{3}))}{3 (9)} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (y^{3} (18 - 10 \sqrt{3}))}{3 \cdot 9} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 3 {(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3})}^{2} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.1.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 3 \frac{{(y (3 - \sqrt{3}))}^{2}}{3^{2}} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $y (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 3 \frac{y^{2} {(3 - \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 3 \frac{y^{2} {(3 - \sqrt{3})}^{2}}{9} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} + 3 (- 1) \frac{y^{2} {(3 - \sqrt{3})}^{2}}{9} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.10.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{y^{2} {(3 - \sqrt{3})}^{2}}{3 \cdot 3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{y^{2} {(3 - \sqrt{3})}^{2}}{3 \cdot 3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} {(3 - \sqrt{3})}^{2}}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.11

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} ((3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.12

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.1.1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 9.1.1.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.1.1.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.1.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3)}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.13.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (12 - 6 \sqrt{3})}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.14

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $3$ .

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Étape 9.1.1.14.1

Factorisez $3$ à partir de $y^{2} (12 - 6 \sqrt{3})$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{3 (y^{2} (4 - 2 \sqrt{3}))}{3} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{3 (y^{2} (4 - 2 \sqrt{3}))}{3 (1)} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{3 (y^{2} (4 - 2 \sqrt{3}))}{3 \cdot 1} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 \frac{y^{2} (4 - 2 \sqrt{3})}{1} y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.14.2.4

Divisez $y^{2} (4 - 2 \sqrt{3})$ par $1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y^{2} (4 - 2 \sqrt{3})) y + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.15

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.1.15.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y \cdot y^{2} (4 - 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.15.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 9.1.1.15.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y^{1} y^{2} (4 - 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y^{1 + 2} (4 - 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.15.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y^{3} (4 - 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (y^{3} \cdot 4 + y^{3} (- 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.17

Déplacez $4$ à gauche de $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (4 \cdot y^{3} + y^{3} (- 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.18

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 1 (4 y^{3}) - 1 (y^{3} (- 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.19

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} - 1 (y^{3} (- 2 \sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.20

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} + 2 (y^{3} (\sqrt{3})) + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.21

Supprimez les parenthèses.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} + 2 y^{3} \sqrt{3} + 2 (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}) \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.22

Associez $2$ et $\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 (y (3 - \sqrt{3}))}{3} \cdot y^{2} = 12$

Étape 9.1.1.23

Multipliez $\frac{2 y (3 - \sqrt{3})}{3} y^{2}$ .

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Étape 9.1.1.23.1

Associez $\frac{2 y (3 - \sqrt{3})}{3}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y (3 - \sqrt{3}) y^{2}}{3} = 12$

Étape 9.1.1.23.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.1.23.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 (y^{2} y) (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.1.23.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 9.1.1.23.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 (y^{2} y^{1}) (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.1.23.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{2 + 1} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.1.23.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.2

Pour écrire $- 4 y^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} - 4 y^{3} \cdot \frac{9}{9} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1.3.1

Associez $- 4 y^{3}$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{- 4 y^{3} \cdot 9}{9} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3}) - 4 y^{3} \cdot 9}{9} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} (18 - 10 \sqrt{3}) - 4 y^{3} \cdot 9$ .

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Étape 9.1.4.1.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $- 4 y^{3} \cdot 9$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3}) + y^{3} (- 4 \cdot 9)}{9} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.4.1.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} (18 - 10 \sqrt{3}) + y^{3} (- 4 \cdot 9)$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3} - 4 \cdot 9)}{9} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$\frac{y^{3} (18 - 10 \sqrt{3} - 36)}{9} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.4.3

Soustrayez $36$ de $18$ .

$\frac{y^{3} (- 18 - 10 \sqrt{3})}{9} + 2 y^{3} \sqrt{3} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.5

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 9.1.5.1

Écrivez $2 y^{3} \sqrt{3}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{y^{3} (- 18 - 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{1} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.5.2

Multipliez $\frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{y^{3} (- 18 - 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.5.3

Multipliez $\frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{y^{3} (- 18 - 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} = 12$

Étape 9.1.5.4

Multipliez $\frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{3} (- 18 - 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{3}{3} = 12$

Étape 9.1.5.5

Multipliez $\frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3})}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{3} (- 18 - 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} = 12$

Étape 9.1.5.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{y^{3} (- 18 - 10 \sqrt{3})}{9} + \frac{2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{2 y^{3} (3 - \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 9.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{3} (- 18 - 10 \sqrt{3}) + 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9 + 2 y^{3} (3 - \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 9.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} \cdot - 18 + y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9 + 2 y^{3} (3 - \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 9.1.7.2

Déplacez $- 18$ à gauche de $y^{3}$ .

$\frac{- 18 \cdot y^{3} + y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 9 + 2 y^{3} (3 - \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 9.1.7.3

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{- 18 y^{3} + y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3} + 2 y^{3} (3 - \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 9.1.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 18 y^{3} + y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3} + (2 y^{3} \cdot 3 + 2 y^{3} (- \sqrt{3})) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 9.1.7.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- 18 y^{3} + y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3} + (6 y^{3} + 2 y^{3} (- \sqrt{3})) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 9.1.7.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 18 y^{3} + y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3} + (6 y^{3} - 2 y^{3} \sqrt{3}) \cdot 3}{9} = 12$

Étape 9.1.7.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 18 y^{3} + y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3} + 6 y^{3} \cdot 3 - 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 3}{9} = 12$

Étape 9.1.7.8

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{- 18 y^{3} + y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3} + 18 y^{3} - 2 y^{3} \sqrt{3} \cdot 3}{9} = 12$

Étape 9.1.7.9

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{- 18 y^{3} + y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3} + 18 y^{3} - 6 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 9.1.8

Associez les termes opposés dans $- 18 y^{3} + y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3} + 18 y^{3} - 6 y^{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 9.1.8.1

Additionnez $- 18 y^{3}$ et $18 y^{3}$ .

$\frac{y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3} + 0 - 6 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 9.1.8.2

Additionnez $y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3}$ et $0$ .

$\frac{y^{3} (- 10 \sqrt{3}) + 18 y^{3} \sqrt{3} - 6 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 9.1.9

Additionnez $y^{3} (- 10 \sqrt{3})$ et $18 y^{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 9.1.9.1

Remettez dans l’ordre $y^{3}$ et $- 10$ .

$\frac{- 10 \cdot y^{3} \sqrt{3} + 18 y^{3} \sqrt{3} - 6 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 9.1.9.2

Additionnez $- 10 \cdot y^{3} \sqrt{3}$ et $18 y^{3} \sqrt{3}$ .

$\frac{8 y^{3} \sqrt{3} - 6 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 9.1.10

Soustrayez $6 y^{3} \sqrt{3}$ de $8 y^{3} \sqrt{3}$ .

$\frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{9} = 12$

Étape 9.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}}$ .

$\frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot \frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{9} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 9.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.1.1

Simplifiez $\frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot \frac{2 y^{3} \sqrt{3}}{9}$ .

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Étape 9.3.1.1.1

Associez.

$\frac{1 (2 y^{3} \sqrt{3})}{2 \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot 9} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2 y^{3} \sqrt{3})}{2 \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot 9} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (y^{3} \sqrt{3})}{\frac{\sqrt{3}}{9} \cdot 9} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.1.1.3

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$\frac{y^{3} \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{9} \cdot 9} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.1.1.4

Associez $\frac{\sqrt{3}}{9}$ et $9$ .

$\frac{y^{3} \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3} \cdot 9}{9}} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.1.1.5

Déplacez $9$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{y^{3} \sqrt{3}}{\frac{9 \sqrt{3}}{9}} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.1.1.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.1.6.1

Réduisez l’expression $\frac{9 \sqrt{3}}{9}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} \sqrt{3}}{\frac{9 \sqrt{3}}{9}} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.1.1.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{1}} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.1.1.6.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{y^{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.1.1.7

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 9.3.1.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.1.1.7.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.2.1

Simplifiez $\frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{9}} \cdot 12$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$y^{3} = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{3}}{9}} \cdot 12$

Étape 9.3.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{3} = 1 \frac{9}{2 \sqrt{3}} \cdot 12$

Étape 9.3.2.1.3

Multipliez $\frac{9}{2 \sqrt{3}}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{9}{2 \sqrt{3}} \cdot 12$

Étape 9.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$y^{3} = \frac{9}{2 (\sqrt{3})} \cdot 12$

Étape 9.3.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y^{3} = \frac{9}{2 (\sqrt{3})} \cdot (2 (6))$

Étape 9.3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = \frac{9}{2 \sqrt{3}} \cdot (2 \cdot 6)$

Étape 9.3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = \frac{9}{\sqrt{3}} \cdot 6$

Étape 9.3.2.1.5

Associez $\frac{9}{\sqrt{3}}$ et $6$ .

$y^{3} = \frac{9 \cdot 6}{\sqrt{3}}$

Étape 9.3.2.1.6

Multipliez $9$ par $6$ .

$y^{3} = \frac{54}{\sqrt{3}}$

Étape 9.3.2.1.7

Multipliez $\frac{54}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y^{3} = \frac{54}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 9.3.2.1.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1.8.1

Multipliez $\frac{54}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.2.1.8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.2.1.8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 9.3.2.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 9.3.2.1.8.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.3.2.1.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.1.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.1.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.1.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.1.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.1.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 9.3.2.1.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$y^{3} = \frac{54 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.3.2.1.9

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 9.3.2.1.9.1

Factorisez $3$ à partir de $54 \sqrt{3}$ .

$y^{3} = \frac{3 (18 \sqrt{3})}{3}$

Étape 9.3.2.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y^{3} = \frac{3 (18 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Étape 9.3.2.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = \frac{3 (18 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Étape 9.3.2.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = \frac{18 \sqrt{3}}{1}$

Étape 9.3.2.1.9.2.4

Divisez $18 \sqrt{3}$ par $1$ .

$y^{3} = 18 \sqrt{3}$

Étape 9.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{18 \sqrt{3}}$

Étape 10

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}, - \sqrt[3]{18 \sqrt{3}})$

$(\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}, \sqrt[3]{18 \sqrt{3}})$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$(\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}, - \sqrt[3]{18 \sqrt{3}}) (\frac{y (3 - \sqrt{3})}{3}, \sqrt[3]{18 \sqrt{3}})$

Notation d’intervalle :

$((\frac{y (3 + \sqrt{3})}{3}, - \sqrt[3]{18 \sqrt{3}}), n >)$

Étape 12