Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} = 21 x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (21 x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21 x y$ par rapport à $x$ est $21 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$21 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$21 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$21 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$21 (x y' + y)$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$21 x y' + 21 y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 21 x y' + 21 y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Soustrayez $21 x y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 21 x y' = 21 y$

Étape 5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 21 x y' = 21 y - 3 x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 21 x y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 21 x y' = 21 y - 3 x^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 21 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 7 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$ par $3 (y^{2} - 7 x)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$ par $3 (y^{2} - 7 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 7 x)}{3 (y^{2} - 7 x)} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (y^{2} - 7 x)}{3 (y^{2} - 7 x)} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} - 7 x)}{y^{2} - 7 x} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 7 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - 7 x)}{y^{2} - 7 x} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $21$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $21 y$ .

$y' = \frac{3 (7 y)}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (7 y)}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 7 x)}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Étape 5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Étape 5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{7 y - x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 y - x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$7 y - x^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Soustrayez $7 y$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 7 y$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 7 y$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 7 y$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 7 y}{- 1}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 7 y}{- 1}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7 y}{- 1}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 7 y}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (- 7 y)$

Étape 7.2.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (- 7 y)$ comme $- (- 7 y)$ .

$x^{2} = - (- 7 y)$

Étape 7.2.2.3.3

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$x^{2} = 7 y$

Étape 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7 y}$

Étape 7.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{7 y}$

Étape 7.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{7 y}$

Étape 7.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Réécrivez ${\sqrt{7 y}}^{3}$ comme $\sqrt{{(7 y)}^{3}}$ .

$\sqrt{{(7 y)}^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.1.2

Appliquez la règle de produit à $7 y$ .

$\sqrt{7^{3} y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.1.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{343 y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.1.4

Réécrivez $343 y^{3}$ comme ${(7 y)}^{2} \cdot (7 y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.4.1

Factorisez $49$ à partir de $343$ .

$\sqrt{49 (7) y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\sqrt{7^{2} \cdot 7 y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.1.4.3

Factorisez $y^{2}$ .

$\sqrt{7^{2} \cdot 7 (y^{2} y)} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.1.4.4

Déplacez $7$ .

$\sqrt{7^{2} y^{2} \cdot 7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.1.4.5

Réécrivez $7^{2} y^{2}$ comme ${(7 y)}^{2}$ .

$\sqrt{{(7 y)}^{2} \cdot 7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.1.4.6

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt{{(7 y)}^{2} \cdot (7 y)} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$7 y \sqrt{7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 y}$ comme ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 y {(7 y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

Étape 8.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 y}$ comme ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 y {(7 y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Appliquez la règle de produit à $7 y$ .

$7 y (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.3

Multipliez $7$ par $7^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.3.1

Multipliez $7$ par $7^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $1$ .

$7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7^{1 + \frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$7^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7^{\frac{2 + 1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.4

Multipliez $y$ par $y^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.4.1

Déplacez $y^{\frac{1}{2}}$ .

$7^{\frac{3}{2}} (y^{\frac{1}{2}} y) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.4.2

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2} + 1} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1 + 2}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.4.4.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

Étape 8.5

Simplifiez $21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

Appliquez la règle de produit à $7 y$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) y$

Étape 8.5.2

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.1

Déplacez $y$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} (y \cdot y^{\frac{1}{2}}))$

Étape 8.5.2.2

Multipliez $y$ par $y^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} (y^{1} y^{\frac{1}{2}}))$

Étape 8.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{1 + \frac{1}{2}})$

Étape 8.5.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

Étape 8.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2 + 1}{2}})$

Étape 8.5.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}})$

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.6

Soustrayez $21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}} = 0$

Étape 8.7

Déterminez un facteur commun $y^{\frac{3}{2}}$ présent dans chaque terme.

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} {(y^{\frac{3}{2}})}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}})$

Étape 8.8

Remplacez $y^{\frac{3}{2}}$ par $u$ .

$7^{\frac{3}{2}} (u) {(u)}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Étape 8.9

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.1

Simplifiez $7^{\frac{3}{2}} (u) {(u)}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.1.1

Multipliez $u$ par ${(u)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.1.1.1

Déplacez ${(u)}^{2}$ .

$7^{\frac{3}{2}} ({(u)}^{2} u) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Étape 8.9.1.1.2

Multipliez ${(u)}^{2}$ par $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.1.1.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} ({(u)}^{2} u^{1}) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Étape 8.9.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7^{\frac{3}{2}} u^{2 + 1} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

Étape 8.9.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

$7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u = 0$

Étape 8.9.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u$ .

$u^{3} \cdot 7^{\frac{3}{2}} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 8.9.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.2.1

Factorisez $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ à partir de $u^{3} \cdot 7^{\frac{3}{2}} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.2.1.1.1

Remettez dans l’ordre $u^{3}$ et $7^{\frac{3}{2}}$ .

$7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 8.9.2.1.1.2

Déplacez $u$ .

$7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} u) = 0$

Étape 8.9.2.1.2

Factorisez $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ à partir de $7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3}$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2})) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} u) = 0$

Étape 8.9.2.1.3

Factorisez $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2})) + u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (- 21)) = 0$

Étape 8.9.2.1.4

Factorisez $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ à partir de $u \cdot 7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2}) + u \cdot 7^{\frac{1}{2}} (- 21)$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2} - 21)) = 0$

Étape 8.9.2.2

Divisez $2$ par $2$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 \cdot u^{2} - 21)) = 0$

Étape 8.9.2.3

Évaluez l’exposant.

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 u^{2} - 21)) = 0$

Étape 8.9.2.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.2.4.1

Factorisez $7$ à partir de $7 u^{2} - 21$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.2.4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 u^{2}$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 (u^{2}) - 21)) = 0$

Étape 8.9.2.4.1.2

Factorisez $7$ à partir de $- 21$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 u^{2} + 7 \cdot - 3)) = 0$

Étape 8.9.2.4.1.3

Factorisez $7$ à partir de $7 u^{2} + 7 \cdot - 3$ .

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 (u^{2} - 3))) = 0$

Étape 8.9.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$u \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot (7 (u^{2} - 3)) = 0$

Étape 8.9.2.5

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.2.5.1

Élevez $7$ à la puissance $1$ .

$u \cdot ((7 \cdot 7^{\frac{1}{2}}) (u^{2} - 3)) = 0$

Étape 8.9.2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u \cdot (7^{1 + \frac{1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Étape 8.9.2.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u \cdot (7^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Étape 8.9.2.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u \cdot (7^{\frac{2 + 1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Étape 8.9.2.5.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$u \cdot (7^{\frac{3}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

Étape 8.9.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Étape 8.9.4

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 8.9.5

Définissez $u^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.5.1

Définissez $u^{2} - 3$ égal à $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Étape 8.9.5.2

Résolvez $u^{2} - 3 = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} = 3$

Étape 8.9.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

Étape 8.9.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.9.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \sqrt{3}$

Étape 8.9.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \sqrt{3}$

Étape 8.9.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 8.9.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u \cdot (7^{\frac{3}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$ vraie.

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 8.10

Remplacez $u$ par $y$ .

$y^{\frac{3}{2}} = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 8.11

Résolvez $y^{\frac{3}{2}} = 0$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.11.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.2.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.11.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.11.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.11.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.11.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.11.2.1.1.2

Simplifiez

$y = 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.11.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.2.2.1

Simplifiez $0^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$y = {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.11.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 8.11.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.11.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 8.11.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 0^{2}$

Étape 8.11.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0$

Étape 8.12

Résolvez $y^{\frac{3}{2}} = \sqrt{3}$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.12.2

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.2.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.12.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.12.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.12.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.12.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.12.2.1.1.2

Simplifiez

$y = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.12.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$ comme $\sqrt[3]{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 8.12.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}$

Étape 8.12.2.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$y = 3^{\frac{2}{2 \cdot 3}}$

Étape 8.12.2.2.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = 3^{\frac{2}{6}}$

Étape 8.12.2.2.1.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.2.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = 3^{\frac{2 (1)}{6}}$

Étape 8.12.2.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.12.2.2.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Étape 8.12.2.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

Étape 8.12.2.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 3^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.12.2.2.1.6

Réécrivez $3^{\frac{1}{3}}$ comme $\sqrt[3]{3}$ .

$y = \sqrt[3]{3}$

Étape 8.13

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{3}$

Étape 8.14

Excluez les solutions qui ne rendent pas ${(\sqrt{7 y})}^{3} + y^{3} = 21 (\sqrt{7 y}) y$ vrai.

$y = 0$

Étape 9

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\sqrt{7 y}, 0)$

$(- \sqrt{7 y}, 0)$

Étape 10