Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x y + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Étape 3

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $x y' + 2 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ par $x + 2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ par $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2 y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.5.1

Réécrivez $- (2 x + y)$ comme $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Étape 5.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x + y = 0$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - y$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - y$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - y$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y}{2}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ .

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Étape 8.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Étape 8.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Étape 8.1.1.3

Multipliez $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Étape 8.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Étape 8.1.1.5

Multipliez $(- \frac{y}{2}) y$ .

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Étape 8.1.1.5.1

Associez $y$ et $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

Étape 8.1.1.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

Étape 8.1.1.5.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

Étape 8.1.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

Étape 8.1.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

Étape 8.1.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $\frac{y^{2}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $\frac{y^{2}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

Étape 8.1.2.3

Écrivez $y^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

Étape 8.1.2.4

Multipliez $\frac{y^{2}}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

Étape 8.1.2.5

Multipliez $\frac{y^{2}}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Étape 8.1.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Étape 8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Étape 8.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Étape 8.1.4.2

Déplacez $4$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Étape 8.1.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.1.5.1

Soustrayez $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Étape 8.1.5.2

Additionnez $- y^{2}$ et $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Étape 8.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Associez.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Étape 8.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Étape 8.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Étape 8.3.1.1.3.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot 27$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

Étape 8.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

Étape 8.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

Étape 8.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$y^{2} = 36$

Étape 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

Étape 8.5

Simplifiez $\pm \sqrt{36}$ .

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Étape 8.5.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

Étape 8.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 6$

Étape 8.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 6$

Étape 8.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 6$

Étape 8.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 6, - 6$

Étape 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{6}{2}$

Étape 9.2

Simplifiez $- \frac{6}{2}$ .

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Étape 9.2.1

Divisez $6$ par $2$ .

$x = - 1 \cdot 3$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x = - 3$

Étape 10

Simplifiez $- \frac{- 6}{2}$ .

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Étape 10.1

Divisez $- 6$ par $2$ .

$x = - - 3$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$x = 3$

Étape 11

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

Étape 12