Calcul infinitésimal Exemples

$3 x y = \ln (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 (x y' + y)$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$3 x y' + 3 y$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ par $3 x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ par $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{3 x}$ .

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Étape 5.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Étape 5.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 7.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 x^{2}, x, 1$

Étape 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Étape 7.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 7.1.4

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 7.1.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 7.1.6

Le plus petit multiple commun de $3, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 7.1.7

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 7.1.8

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 7.1.9

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x$

Étape 7.1.10

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2}$

Étape 7.1.11

Le plus petit multiple commun pour $3 x^{2}, x, 1$ est la partie numérique $3$ multipliée par la partie variable.

$3 x^{2}$

Étape 7.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ par $3 x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ par $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x}$ dans le numérateur.

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2.1.4.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.2.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $0 (3 x^{2})$ .

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Étape 7.2.3.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$1 - 3 y x = 0$

Étape 7.3

Résolvez l’équation.

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Étape 7.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y x = - 1$

Étape 7.3.2

Divisez chaque terme dans $- 3 y x = - 1$ par $- 3 y$ et simplifiez.

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Étape 7.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y x = - 1$ par $- 3 y$ .

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Étape 7.3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Étape 7.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{3 y}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ .

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Étape 8.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Étape 8.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Étape 8.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Étape 8.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Étape 8.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Étape 8.1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 8.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

Étape 8.2

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

Étape 8.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

Étape 8.4

Réécrivez $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

Étape 8.5

Résolvez $y$ .

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Étape 8.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ .

$\frac{1}{3 y} = e$

Étape 8.5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 y, 1$

Étape 8.5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$3 y$

Étape 8.5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{3 y} = e$ par $3 y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{3 y} = e$ par $3 y$ .

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

Étape 8.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.5.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Étape 8.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.5.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

Étape 8.5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Étape 8.5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Étape 8.5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 8.5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Étape 8.5.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 = e (3 y)$

Étape 8.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.5.3.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $e$ .

$1 = 3 e y$

Étape 8.5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 8.5.4.1

Réécrivez l’équation comme $3 e y = 1$ .

$3 e y = 1$

Étape 8.5.4.2

Divisez chaque terme dans $3 e y = 1$ par $3 e$ et simplifiez.

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Étape 8.5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 e y = 1$ par $3 e$ .

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Étape 8.5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Étape 8.5.4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Étape 8.5.4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 8.5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Étape 8.5.4.2.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{3 e}$

Étape 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

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Étape 9.1

Multipliez $3$ par $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

Étape 9.2

Simplifiez $\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ .

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Étape 9.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Étape 9.2.2

Réduisez l’expression $\frac{3}{3 e}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Étape 9.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

Étape 9.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = 1 e$

Étape 9.2.4

Multipliez $e$ par $1$ .

$x = e$

Étape 10

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(e, \frac{1}{3 e})$

Étape 11