Calcul infinitésimal Exemples

$5 x^{3} = - 3 x y + 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 x y + 2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (3 x^{2})$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 x^{2}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x y + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x y$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 (x y' + y) + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (x y') - 3 y + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $- 3 x y' - 3 y$ et $0$ .

$- 3 x y' - 3 y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$15 x^{2} = - 3 x y' - 3 y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 x y' - 3 y = 15 x^{2}$ .

$- 3 x y' - 3 y = 15 x^{2}$

Étape 5.2

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$ par $- 3 x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$ par $- 3 x$ .

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y'}{x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $15$ et $- 3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $15 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{3 (- x)} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{3 (- x)} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{5 x^{2}}{- x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (5 x)}{- x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5 x}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (5 x) + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot (5 x)$ comme $- (5 x)$ .

$y' = - (5 x) + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y' = - 5 x + \frac{3 y}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun à $3$ et $- 3$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$y' = - 5 x + \frac{3 (y)}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$y' = - 5 x + \frac{3 (y)}{3 (- x)}$

Étape 5.3.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - 5 x + \frac{3 y}{3 (- x)}$

Étape 5.3.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - 5 x + \frac{y}{- x}$

Étape 5.3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - 5 x - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 5 x - \frac{y}{x}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 7.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 7.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 7.2

Multiplier chaque terme dans $- 5 x - \frac{y}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.2.1

Multipliez chaque terme dans $- 5 x - \frac{y}{x} = 0$ par $x$ .

$- 5 x \cdot x - \frac{y}{x} x = 0 x$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 5 (x \cdot x) - \frac{y}{x} x = 0 x$

Étape 7.2.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 x^{2} - \frac{y}{x} x = 0 x$

Étape 7.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x}$ dans le numérateur.

$- 5 x^{2} + \frac{- y}{x} x = 0 x$

Étape 7.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 5 x^{2} + \frac{- y}{x} x = 0 x$

Étape 7.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 5 x^{2} - y = 0 x$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$- 5 x^{2} - y = 0$

Étape 7.3

Résolvez l’équation.

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Étape 7.3.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 5 x^{2} = y$

Étape 7.3.2

Divisez chaque terme dans $- 5 x^{2} = y$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 7.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x^{2} = y$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{y}{- 5}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{y}{- 5}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{y}{- 5}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{y}{5}$

Étape 7.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{y}{5}}$

Étape 7.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

Étape 7.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

Étape 7.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

Étape 8

Les valeurs $x$ calculées ne peuvent pas contenir de composants imaginaires.

$\sqrt{- \frac{y}{5}}$ n’est pas une valeur valide pour x

Étape 9

Les valeurs $x$ calculées ne peuvent pas contenir de composants imaginaires.

$- \sqrt{- \frac{y}{5}}$ n’est pas une valeur valide pour x

Étape 10

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Étape 11