Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (y) = x - y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 - y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \csc^{2} (y) y'$ .

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $- y' \csc^{2} (y)$ et $y'$ .

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Étape 5.2.3

Réécrivez $y'$ comme $1 y'$ .

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Étape 5.2.4

Factorisez $- y'$ à partir de $1 y'$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Étape 5.2.5

Factorisez $- y'$ à partir de $- y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Étape 5.2.6

Factorisez $- y'$ à partir de $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

Étape 5.2.7

Réorganisez les termes.

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

Étape 5.2.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- y' \cot^{2} (y) = 1$ par $- \cot^{2} (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- y' \cot^{2} (y) = 1$ par $- \cot^{2} (y)$ .

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\cot^{2} (y)$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ comme ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ .

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez $\cot (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

Étape 5.3.3.6

Convertissez de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ à $\tan (y)$ .

$y' = - \tan^{2} (y)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- \tan^{2} (y) = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Divisez chaque terme dans $- \tan^{2} (y) = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (y)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan^{2} (y)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.1.2.2

Divisez $\tan^{2} (y)$ par $1$ .

$\tan^{2} (y) = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\tan^{2} (y) = 0$

Étape 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (y) = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\tan (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\tan (y) = \pm 0$

Étape 7.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\tan (y) = 0$

Étape 7.4

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (0)$

Étape 7.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.5.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 7.6

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$y = π + 0$

Étape 7.7

Additionnez $π$ et $0$ .

$y = π$

Étape 7.8

Déterminez la période de $\tan (y)$ .

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Étape 7.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 7.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 7.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 7.8.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7.9

La période de la fonction $\tan (y)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$y = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.10

Consolidez les réponses.

$y = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

Supprimez les parenthèses.

$\cot (y) = π n - y$

Étape 9

Solve for $x$ when $y$ is $π n - y$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes contenant $n$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $π n$ des deux côtés de l’équation.

$π n - y - π n = 0$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $π n - y - π n$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $π n$ de $π n$ .

$- y + 0 = 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $- y$ et $0$ .

$- y = 0$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $- y = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 9.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$y = 0$

Étape 10

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, π n - y)$

Étape 11