Calcul infinitésimal Exemples

$9 x^{2} + 25 y^{2} = 225$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (9 x^{2} + 25 y^{2}) = \frac{d}{d x} (225)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 25 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [25 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 y^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$18 x + 25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$18 x + 25 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$18 x + 25 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$18 x + 25 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$18 x + 25 (2 y y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $25$ .

$18 x + 50 y y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$50 y y' + 18 x$

Étape 3

Comme $225$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $225$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$50 y y' + 18 x = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $18 x$ des deux côtés de l’équation.

$50 y y' = - 18 x$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $50 y y' = - 18 x$ par $50 y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $50 y y' = - 18 x$ par $50 y$ .

$\frac{50 y y'}{50 y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 y y'}{50 y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18 x}{50 y}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 18 x}{50 y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $50$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18 x$ .

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{50 y}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $50 y$ .

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{2 (25 y)}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 9 x)}{2 (25 y)}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 9 x}{25 y}$

Étape 5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{9 x}{25 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{25 y}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$9 x = 0$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 0$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 0$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{9}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Divisez $0$ par $9$ .

$x = 0$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $9 \cdot 0^{2} + 25 y^{2}$ .

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9 \cdot 0 + 25 y^{2} = 225$

Étape 8.1.1.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$0 + 25 y^{2} = 225$

Étape 8.1.2

Additionnez $0$ et $25 y^{2}$ .

$25 y^{2} = 225$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $25 y^{2} = 225$ par $25$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $25 y^{2} = 225$ par $25$ .

$\frac{25 y^{2}}{25} = \frac{225}{25}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 y^{2}}{25} = \frac{225}{25}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{225}{25}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Divisez $225$ par $25$ .

$y^{2} = 9$

Étape 8.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9}$

Étape 8.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 8.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 8.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 3$

Étape 8.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 3$

Étape 8.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 3$

Étape 8.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 3, - 3$

Étape 9

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 3)$

$(0, - 3)$

Étape 10