Calcul infinitésimal Exemples

$5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$10 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$10 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$10 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 y^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y y')$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $7$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 14 y y'$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 x - 2 (x y') - 2 y + 14 y y'$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 x - 2 x y' - 2 y + 14 y y'$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $10 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x y' + 14 y y' - 2 y = - 10 x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x y' + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

Étape 5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 x y' + 14 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 x y'$ .

$2 y' (- x) + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $14 y y'$ .

$2 y' (- x) + 2 y' (7 y) = - 10 x + 2 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (- x) + 2 y' (7 y)$ .

$2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ par $2 (- x + 7 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ par $2 (- x + 7 y)$ .

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- x + 7 y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{y}{- x + 7 y}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 5 x + y}{- x + 7 y}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$y' = \frac{- (5 x) + y}{- x + 7 y}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$y' = \frac{- (5 x) - 1 (- y)}{- x + 7 y}$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (5 x - y)}{- x + 7 y}$

Étape 5.3.3.2.5

Réécrivez $- (5 x - y)$ comme $- 1 (5 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- x + 7 y}$

Étape 5.3.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) + 7 y}$

Étape 5.3.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $7 y$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) - (- 7 y)}$

Étape 5.3.3.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (- 7 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x - 7 y)}$

Étape 5.3.3.2.9

Réécrivez $- (x - 7 y)$ comme $- 1 (x - 7 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

Étape 5.3.3.2.10

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

Étape 5.3.3.2.11

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 x - y = 0$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = y$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = y$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = y$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{y}{5}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $5 {(\frac{y}{5})}^{2} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2}$ .

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{5}$ .

$5 \frac{y^{2}}{5^{2}} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$5 \frac{y^{2}}{25} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.1.1.3.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$5 \frac{y^{2}}{5 (5)} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{y^{2}}{5 \cdot 5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.4

Associez $- 2$ et $\frac{y}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{- 2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.6

Multipliez $- \frac{2 y}{5} y$ .

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Étape 8.1.1.6.1

Associez $y$ et $\frac{2 y}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{y (2 y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.6.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.6.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y^{1})}{5} + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{1 + 1}}{5} + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{2}}{5} + 7 y^{2} = 0$

Étape 8.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 y^{2} + \frac{y^{2} - 2 y^{2}}{5} = 0$

Étape 8.1.2.2

Soustrayez $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$7 y^{2} + \frac{- y^{2}}{5} = 0$

Étape 8.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 y^{2} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Étape 8.1.3

Pour écrire $7 y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$7 y^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Étape 8.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1.4.1

Associez $7 y^{2}$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7 y^{2} \cdot 5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Étape 8.1.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}}{5} = 0$

Étape 8.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.5.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}$ .

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Étape 8.1.5.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $7 y^{2} \cdot 5$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) - y^{2}}{5} = 0$

Étape 8.1.5.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1}{5} = 0$

Étape 8.1.5.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5 - 1)}{5} = 0$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{y^{2} (35 - 1)}{5} = 0$

Étape 8.1.5.3

Soustrayez $1$ de $35$ .

$\frac{y^{2} \cdot 34}{5} = 0$

Étape 8.1.6

Déplacez $34$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{34 y^{2}}{5} = 0$

Étape 8.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$34 y^{2} = 0$

Étape 8.3

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 8.3.1

Divisez chaque terme dans $34 y^{2} = 0$ par $34$ et simplifiez.

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Étape 8.3.1.1

Divisez chaque terme dans $34 y^{2} = 0$ par $34$ .

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

Étape 8.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $34$ .

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Étape 8.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

Étape 8.3.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{34}$

Étape 8.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1.3.1

Divisez $0$ par $34$ .

$y^{2} = 0$

Étape 8.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{0}$

Étape 8.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 8.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 8.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 0$

Étape 8.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 9

Résolvez pour $x$ quand $y$ est $0$ .

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$x = \frac{0}{5}$

Étape 9.2

Divisez $0$ par $5$ .

$x = 0$

Étape 10

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

Étape 11