Calcul infinitésimal Exemples

$y + \cos (y) = x + 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y' + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$y' - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y' - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' - \sin (y) y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \sin (y) y' + y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \sin (y) y' + y' = 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \sin (y) y' + y'$ .

$- y' \sin (y) + y' = 1$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y' \sin (y) + y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y' \sin (y)$ .

$y' (- 1 \sin (y)) + y' = 1$

Étape 5.2.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (- 1 \sin (y)) + y' = 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 \sin (y)) + y' \cdot 1 = 1$

Étape 5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 1 \sin (y)) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 \sin (y) + 1) = 1$

Étape 5.3

Réécrivez $- 1 \sin (y)$ comme $- \sin (y)$ .

$y' (- \sin (y) + 1) = 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (- \sin (y) + 1) = 1$ par $- \sin (y) + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (- \sin (y) + 1) = 1$ par $- \sin (y) + 1$ .

$\frac{y' (- \sin (y) + 1)}{- \sin (y) + 1} = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- \sin (y) + 1$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- \sin (y) + 1)}{- \sin (y) + 1} = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (y)$ .

$y' = \frac{1}{- (\sin (y)) + 1}$

Étape 5.4.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1}{- (\sin (y)) - 1 (- 1)}$

Étape 5.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (y)) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1}{- (\sin (y) - 1)}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.4.3.4.1

Réécrivez $- (\sin (y) - 1)$ comme $- 1 (\sin (y) - 1)$ .

$y' = \frac{1}{- 1 (\sin (y) - 1)}$

Étape 5.4.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{\sin (y) - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sin (y) - 1}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 7.2

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 8

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Étape 9