Calcul infinitésimal Exemples

$y = | x^{2} - 9 |$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - 9 |)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 3.2.3

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + 0)$

Étape 3.2.4

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x)$

Étape 3.2.4.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |} x$

Étape 3.2.4.3

Associez $\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |}$ et $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Étape 3.3.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Étape 6

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 6.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 18 x$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Étape 6.2.1.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Étape 6.2.1.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 6.2.1.3

Factorisez.

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Étape 6.2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 6.2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 6.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 6.2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.2.4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.2.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6.2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, 3$

Étape 6.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 7

Simplifiez $| {(0)}^{2} - 9 |$ .

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Étape 7.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = | 0 - 9 |$

Étape 7.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$y = | - 9 |$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 9$ et $0$ est $9$ .

$y = 9$

Étape 8

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 9)$

Étape 9