Calcul infinitésimal Exemples

$x y = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' = - y$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $x y' = - y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $x y' = - y$ par $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 7.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 7.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 7.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{y}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{y}{x} = 0$ par $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 0 x$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Étape 7.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Étape 7.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- y = 0 x$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$- y = 0$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $- y = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $- y = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.3.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$y = 0$

Étape 7.4

La variable $x$ a été annulée.

Tous les nombres réels

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Élevez $l$ à la puissance $1$ .

$A (l^{1} l) (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Étape 8.1.2

Élevez $l$ à la puissance $1$ .

$A (l^{1} l^{1}) (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Étape 8.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A l^{1 + 1} (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Étape 8.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$A l^{2} (r e a l) (n u m b e r s) y = 1$

Étape 8.1.5

Élevez $l$ à la puissance $1$ .

$A (l^{1} l^{2}) (r e a) (n u m b e r s) y = 1$

Étape 8.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A l^{1 + 2} (r e a) (n u m b e r s) y = 1$

Étape 8.1.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$A l^{3} (r e a) (n u m b e r s) y = 1$

Étape 8.1.8

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e (r^{1} r) s) y = 1$

Étape 8.1.9

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e (r^{1} r^{1}) s) y = 1$

Étape 8.1.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A l^{3} (e a) (n u m b e r^{1 + 1} s) y = 1$

Étape 8.1.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$A l^{3} (e a) (n u m b e r^{2} s) y = 1$

Étape 8.1.12

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b (e^{1} e) r^{2} s) y = 1$

Étape 8.1.13

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b (e^{1} e^{1}) r^{2} s) y = 1$

Étape 8.1.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A l^{3} (a) (n u m b e^{1 + 1} r^{2} s) y = 1$

Étape 8.1.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$A l^{3} (a) (n u m b e^{2} r^{2} s) y = 1$

Étape 8.1.16

Multipliez $A l^{3}$ par $a$ .

$A l^{3} a (n u m b e^{2} r^{2} s) y = 1$

Étape 8.1.17

Supprimez les parenthèses.

$A l^{3} a (n u m b e^{2} r^{2}) s y = 1$

Étape 8.1.18

Supprimez les parenthèses.

$A l^{3} a (n u m b e^{2}) r^{2} s y = 1$

Étape 8.1.19

Supprimez les parenthèses.

$A l^{3} a (n u m b) e^{2} r^{2} s y = 1$

Étape 8.1.20

Supprimez les parenthèses.

$A l^{3} a (n u m) b e^{2} r^{2} s y = 1$

Étape 8.1.21

Supprimez les parenthèses.

$A l^{3} a (n u) m b e^{2} r^{2} s y = 1$

Étape 8.1.22

Supprimez les parenthèses.

$A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 1$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 1$ par $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y = 1$ par $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$\frac{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $A$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun de $l^{3}$ .

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s y}{l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a n u m b e^{2} r^{2} s y}{a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.3

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 8.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a n u m b e^{2} r^{2} s y}{a n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{n u m b e^{2} r^{2} s y}{n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.4

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 8.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{n u m b e^{2} r^{2} s y}{n u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{u m b e^{2} r^{2} s y}{u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.5

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 8.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u m b e^{2} r^{2} s y}{u m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{m b e^{2} r^{2} s y}{m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.6

Annulez le facteur commun de $m$ .

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Étape 8.2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{m b e^{2} r^{2} s y}{m b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b e^{2} r^{2} s y}{b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.7

Annulez le facteur commun de $b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b e^{2} r^{2} s y}{b e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{2} r^{2} s y}{e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.8

Annulez le facteur commun de $e^{2}$ .

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Étape 8.2.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2} r^{2} s y}{e^{2} r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r^{2} s y}{r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.9

Annulez le facteur commun de $r^{2}$ .

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Étape 8.2.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r^{2} s y}{r^{2} s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{s y}{s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.10

Annulez le facteur commun de $s$ .

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Étape 8.2.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{s y}{s} = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 8.2.2.10.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s}$

Étape 9

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s), \frac{1}{A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s})$

Étape 10