Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 + 48 x^{2} + 32 x^{4})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Étape 3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$0 + 96 x + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 x^{4}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 + 96 x + 32 (4 x^{3})$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $32$ .

$0 + 96 x + 128 x^{3}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Additionnez $0$ et $96 x$ .

$96 x + 128 x^{3}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$128 x^{3} + 96 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 128 x^{3} + 96 x$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 128 x^{3} + 96 x$

Étape 6

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 6.1

Factorisez $32 x$ à partir de $128 x^{3} + 96 x$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $32 x$ à partir de $128 x^{3}$ .

$32 x (4 x^{2}) + 96 x = 0$

Étape 6.1.2

Factorisez $32 x$ à partir de $96 x$ .

$32 x (4 x^{2}) + 32 x (3) = 0$

Étape 6.1.3

Factorisez $32 x$ à partir de $32 x (4 x^{2}) + 32 x (3)$ .

$32 x (4 x^{2} + 3) = 0$

Étape 6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

Étape 6.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez $4 x^{2} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $4 x^{2} + 3$ égal à $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $4 x^{2} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = - 3$

Étape 6.4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = - 3$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 6.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 6.4.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Étape 6.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Étape 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Étape 6.4.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Étape 6.4.2.4.1

Réécrivez $- \frac{3}{4}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.4.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Étape 6.4.2.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Étape 6.4.2.4.1.3

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.4.2.4.1.4

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Étape 6.4.2.4.1.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Étape 6.4.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Étape 6.4.2.4.3

Associez $\frac{i}{2}$ et $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $32 x (4 x^{2} + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 {(0)}^{4}$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$

Étape 7.3

Simplifiez $2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$ .

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 2 + 48 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $48$ par $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Étape 7.3.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0$

Étape 7.3.1.4

Multipliez $32$ par $0$ .

$y = 2 + 0 + 0$

Étape 7.3.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.3.2.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$y = 2 + 0$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$y = 2$

Étape 8

Les valeurs $x$ calculées ne peuvent pas contenir de composants imaginaires.

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$ n’est pas une valeur valide pour x

Étape 9

Les valeurs $x$ calculées ne peuvent pas contenir de composants imaginaires.

$- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ n’est pas une valeur valide pour x

Étape 10

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

Étape 11