Calcul infinitésimal Exemples

$y = 12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$36 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 27$ .

$36 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.5.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + 0$

Étape 3.5.2

Additionnez $36 x^{2} - 54 x - 36$ et $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Étape 6

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 6.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1.1

Factorisez $18$ à partir de $36 x^{2} - 54 x - 36$ .

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $18$ à partir de $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 54 x - 36 = 0$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $18$ à partir de $- 54 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) - 36 = 0$

Étape 6.1.1.3

Factorisez $18$ à partir de $- 36$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Étape 6.1.1.4

Factorisez $18$ à partir de $18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Étape 6.1.1.5

Factorisez $18$ à partir de $18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Étape 6.1.2

Factorisez.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Étape 6.1.2.1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$18 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Étape 6.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$18 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Étape 6.1.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$18 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$18 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Étape 6.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$18 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$18 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Étape 6.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Étape 6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 6.3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 6.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 6.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Étape 7

Simplifiez $12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$ .

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y = 12 (- \frac{1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$y = 12 (\frac{- 1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = 4 (3) \frac{- 1}{8} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$y = 3 (\frac{- 1}{2}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.6

Associez $3$ et $\frac{- 1}{2}$ .

$y = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.1.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.11

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (\frac{1}{4}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.14

Associez $- 27$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{3}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Étape 7.1.16

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.16.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Étape 7.1.16.2

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 1}{2} + 8$

Étape 7.1.16.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 1}{2} + 8$

Étape 7.1.16.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 1 + 8$

Étape 7.1.17

Multipliez $- 18$ par $- 1$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Étape 7.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Étape 7.2.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Étape 7.2.3

Écrivez $18$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} + 8$

Étape 7.2.4

Multipliez $\frac{18}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

Étape 7.2.5

Multipliez $\frac{18}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 8$

Étape 7.2.6

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

Étape 7.2.7

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.2.8

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 3 \cdot 2 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Étape 7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Étape 7.4.2

Multipliez $18$ par $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 8 \cdot 4}{4}$

Étape 7.4.3

Multipliez $8$ par $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 32}{4}$

Étape 7.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.5.1

Soustrayez $27$ de $- 6$ .

$y = \frac{- 33 + 72 + 32}{4}$

Étape 7.5.2

Additionnez $- 33$ et $72$ .

$y = \frac{39 + 32}{4}$

Étape 7.5.3

Additionnez $39$ et $32$ .

$y = \frac{71}{4}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 \cdot 2^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Étape 8.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Étape 8.4

Simplifiez $12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$ .

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Étape 8.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y = 12 \cdot 8 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Étape 8.4.1.2

Multipliez $12$ par $8$ .

$y = 96 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Étape 8.4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 96 - 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 8$

Étape 8.4.1.4

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$y = 96 - 108 - 36 \cdot 2 + 8$

Étape 8.4.1.5

Multipliez $- 36$ par $2$ .

$y = 96 - 108 - 72 + 8$

Étape 8.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.4.2.1

Soustrayez $108$ de $96$ .

$y = - 12 - 72 + 8$

Étape 8.4.2.2

Soustrayez $72$ de $- 12$ .

$y = - 84 + 8$

Étape 8.4.2.3

Additionnez $- 84$ et $8$ .

$y = - 76$

Étape 9

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{71}{4})$

$(2, - 76)$

Étape 10