Calcul infinitésimal Exemples

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 4 \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Étape 3.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Étape 3.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$6 + 12 \sin (3 x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

Étape 6

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$12 \sin (3 x) = - 6$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $12 \sin (3 x) = - 6$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $12 \sin (3 x) = - 6$ par $12$ .

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $\sin (3 x)$ par $1$ .

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $12$ .

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Étape 6.2.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Étape 6.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 6.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $3 x = - \frac{π}{6}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - \frac{π}{6}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.5.3.2

Multipliez $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.5.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Étape 6.5.3.2.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Étape 6.6

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 6.7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.7.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 6.7.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = \frac{7 π}{6}$

Étape 6.7.3

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 π}{6}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.7.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 π}{6}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Étape 6.7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Étape 6.7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Étape 6.7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.7.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 6.7.3.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.7.3.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Étape 6.7.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Étape 6.8

Déterminez la période de $\sin (3 x)$ .

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Étape 6.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.8.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 6.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 6.9

Ajoutez $\frac{2 π}{3}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.9.1

Ajoutez $\frac{2 π}{3}$ à $- \frac{π}{18}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Étape 6.9.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Étape 6.9.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.9.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Étape 6.9.3.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Étape 6.9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

Étape 6.9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.9.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{18}$

Étape 6.9.5.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{18}$

Étape 6.9.6

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{18}$

Étape 6.10

La période de la fonction $\sin (3 x)$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Simplifiez $6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 7.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 7.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 7.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Étape 7.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Étape 7.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Étape 7.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Étape 7.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Étape 7.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Étape 7.2

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 7.2.1

Remettez dans l’ordre $\frac{7 π}{6}$ et $2 π n$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Étape 7.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{7 π}{3}$ et $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Étape 8

Simplifiez $6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 8.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 8.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 8.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 8.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Étape 8.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Étape 8.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Étape 8.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Étape 8.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Étape 8.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Étape 8.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Étape 8.2

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 8.2.1

Remettez dans l’ordre $\frac{11 π}{6}$ et $2 π n$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Étape 8.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{11 π}{3}$ et $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Étape 9

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ , pour tout entier $n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ , pour tout entier $n$

Étape 10