Calcul infinitésimal Exemples

$y = 9 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 x - 3 x^{2} + x^{3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x - 3 x^{2} + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 - 6 x + 3 x^{2}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} - 6 x + 9$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Étape 6

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 6 x + 9$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 9 = 0$

Étape 6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9 = 0$

Étape 6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 6.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Étape 6.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x^{2} - 2 x + 3$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = \frac{0}{3}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Étape 6.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5

Simplifiez

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Étape 6.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 6.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 6.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Étape 6.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{2}$

Étape 6.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 6.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Étape 6.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{2}$

Étape 6.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Étape 7

Les valeurs $x$ calculées ne peuvent pas contenir de composants imaginaires.

$1 + i \sqrt{2}$ n’est pas une valeur valide pour x

Étape 8

Les valeurs $x$ calculées ne peuvent pas contenir de composants imaginaires.

$1 - i \sqrt{2}$ n’est pas une valeur valide pour x

Étape 9

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Étape 10