Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ , $a = - 1$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = - 1$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (- 1) + f' (- 1) (x - - 1)$

Étape 3

Évaluez $f (- 1)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez ${(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

${(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 + 5 {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 5 \cdot 1$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$1 + 5$

Étape 3.2.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$6$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $- 1$ .

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 5 (2 x)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$4 x^{3} + 10 x$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$4 {(- 1)}^{3} + 10 (- 1)$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 1 + 10 (- 1)$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 + 10 (- 1)$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- 4 - 10$

Étape 4.3.2

Soustrayez $10$ de $- 4$ .

$- 14$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = 6 - 14 (x - - 1)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$L (x) = 6 - 14 x - 14 \cdot 1$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 14$ par $1$ .

$L (x) = 6 - 14 x - 14$

Étape 6.2

Soustrayez $14$ de $6$ .

$L (x) = - 14 x - 8$

Étape 7