Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = 2$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

Étape 3

Évaluez $f (2)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Étape 3.2

Simplifiez $\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Étape 3.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + 21}$

Étape 3.2.3

Additionnez $4$ et $21$ .

$\sqrt{25}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $2$ .

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 21}$ comme ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 21$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 21$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.7

Associez les fractions.

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Étape 4.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.7.3

Placez ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Étape 4.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 21$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

Étape 4.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

Étape 4.1.10

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 4.1.11

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Étape 4.1.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 4.1.11.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.11.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.11.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.2

Additionnez $4$ et $21$ .

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{5^{1}}$

Étape 4.3.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{5}$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Étape 6.1.2

Associez $\frac{2}{5}$ et $x$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Étape 6.1.3

Multipliez $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

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Étape 6.1.3.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Étape 6.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Étape 6.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 6.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 6.3

Associez $5$ et $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

Étape 6.5.2

Soustrayez $4$ de $25$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

Étape 7