Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 6$

$b = 8$

$k = 7$

$h = 4$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(4, 7)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(8)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 + {(8)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 + 64}$

Étape 5.3.3

Additionnez $36$ et $64$ .

$\sqrt{100}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$10$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, 13)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, 1)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(4, 13), (4, 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, 17)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, - 3)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(4, 17), (4, - 3)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(8)}^{2}}}{6}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 8^{2}}}{6}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 64}}{6}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $36$ et $64$ .

$\frac{\sqrt{100}}{6}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{6}$

Étape 8.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{10}{6}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $6$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 (5)}{6}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{8^{2}}{10}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{64}{10}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $64$ et $10$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{2 (32)}{10}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 5}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 5}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 4) + 7$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1)) + 7$

Étape 11.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1) + 7$

Étape 11.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1 + 7$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 7$

Étape 11.2.2

Additionnez $- 3$ et $7$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 4) + 7$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

Étape 12.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 4 + 7$

Étape 12.2.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (- 1)) + 7$

Étape 12.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot - 1) + 7$

Étape 12.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 \cdot - 1 + 7$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 + 7$

Étape 12.2.1.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 3 + 7$

Étape 12.2.2

Additionnez $3$ et $7$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 10$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{4} + 4, y = - \frac{3 x}{4} + 10$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(4, 7)$

Sommets : $(4, 13), (4, 1)$

Foyers : $(4, 17), (4, - 3)$

Excentricité : $\frac{5}{3}$

Paramètre focal : $\frac{32}{5}$

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{4} + 4$ , $y = - \frac{3 x}{4} + 10$

Étape 15