Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Étape 1.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 \cos (2 x) = 0$ .

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Étape 2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.4.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez

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Étape 2.6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.6.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.6.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.6.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.6.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.6.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.7

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.8

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (2 x)$ sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 3.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (2 x)$ sur $x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}))$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Étape 4.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Étape 4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 4.2.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 4.2.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Étape 4.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1$

Étape 4.2.9

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = \sin (2 x)$ est $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Étape 6