Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 7$

Étape 1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 2 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $x^{2} - 2$ et $0$ .

$x^{2} - 2$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 2 = 0$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 4.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 4.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ sur $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2}) = \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{8}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{4 (2)}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Étape 5.2.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Étape 5.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Étape 5.2.2

Pour écrire $- 2 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

Étape 5.2.3

Associez les fractions.

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Étape 5.2.3.1

Associez $- 2 \sqrt{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

Étape 5.2.4.1.2

Soustrayez $6 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Étape 5.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\sqrt{2}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ sur $x = - \sqrt{2}$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Étape 6.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Étape 6.2.1.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Étape 6.2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{8}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Étape 6.2.1.1.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.2.1.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{4 (2)}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Étape 6.2.1.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Étape 6.2.1.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Étape 6.2.1.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Étape 6.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} + 7$

Étape 6.2.2

Pour écrire $2 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

Étape 6.2.3

Associez les fractions.

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Étape 6.2.3.1

Associez $2 \sqrt{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Étape 6.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Étape 6.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

Étape 6.2.4.2

Additionnez $- 2 \sqrt{2}$ et $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Étape 7

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ sont $y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Étape 8