Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 7 x$

Étape 1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{2} + 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x + 7 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$x + 7$

Étape 4

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$ sur $x = - 7$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f (- 7) = \frac{{(- 7)}^{2}}{2} + 7 (- 7)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$f (- 7) = \frac{49}{2} + 7 (- 7)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{49}{2} - 49$

Étape 5.2.2

Pour écrire $- 49$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- 7) = \frac{49}{2} - 49 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.2.3

Associez $- 49$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- 7) = \frac{49}{2} + \frac{- 49 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 7) = \frac{49 - 49 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $- 49$ par $2$ .

$f (- 7) = \frac{49 - 98}{2}$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez $98$ de $49$ .

$f (- 7) = \frac{- 49}{2}$

Étape 5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 7) = - \frac{49}{2}$

Étape 5.2.7

La réponse finale est $- \frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{2}$

Étape 6

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$ est $y = - \frac{49}{2}$ .

$y = - \frac{49}{2}$

Étape 7