Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x}{x - 3}$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \frac{x}{x - 3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$\frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.4.1

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 = 0$

Étape 3.2

Comme $3 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Aucune solution n’est trouvée en définissant la dérivée égale à $0$ , $- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ si bien qu’il n’y a pas de droite tangente horizontale.

Aucune tangente horizontale n’a été trouvée

Étape 5