Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 3 x + 1$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 3$ et $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 3$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 3$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $3$ par $3$ .

$x^{2} = 1$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ sur $x = 1$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (1) = - 2 + 1$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (1) = - 1$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ sur $x = - 1$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 + 1$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (- 1) = 2 + 1$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- 1) = 3$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ sont $y = - 1, y = 3$ .

$y = - 1, y = 3$

Étape 7