Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 10 x + 3$ et $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ .

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Étape 3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 1$ plus $- 9$

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

Étape 3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 3.3

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 3.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, 3$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ sur $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 4.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 4.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 4.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 4.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 4.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 4.2.1.7

Associez $- 5$ et $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 4.2.1.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.9.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Étape 4.2.1.9.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

Étape 4.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{5}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{5}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

Étape 4.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

Étape 4.2.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 4.2.2.8

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Étape 4.2.2.9

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Étape 4.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $15$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

Étape 4.2.4.3

Additionnez $- 14$ et $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

Étape 4.2.4.4

Additionnez $13$ et $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ sur $x = 3$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Étape 5.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $45$ de $27$ .

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 18$ et $9$ .

$f (3) = - 9 + 1$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$f (3) = - 8$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 8$ .

$- 8$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ sont $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

Étape 7