Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 4 x$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 4 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$3 x^{2} - 4$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 4 = 0$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 4$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 4 x$ sur $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.2.4

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.1.2.4.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.2.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.4

Annulez le facteur commun à $24$ et $27$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $24 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 4.2.1.5.1

Associez $- 4$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 4.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}}{9}$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $24 \sqrt{3}$ de $8 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 4.2.7

La réponse finale est $- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 4 x$ sur $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.3.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.3.4

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.1.3.4.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.3.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.3.6

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.5

Annulez le facteur commun à $24$ et $27$ .

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Étape 5.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $24 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $- 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 5.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 4 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.1.6.2

Associez $4$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 5.2.1.6.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{9}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $- 8 \sqrt{3}$ et $24 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{3} - 4 x$ sont $y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}, y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}, y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 7