Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \ln (x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

Étape 1.3.6

Multipliez $\ln (x^{2})$ par $1$ .

$2 + \ln (x^{2})$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 + \ln (x^{2}) = 0$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x^{2}) = - 2$

Étape 2.2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

Étape 2.3

Réécrivez $\ln (x^{2}) = - 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x^{2}$

Étape 2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} = e^{- 2}$ .

$x^{2} = e^{- 2}$

Étape 2.4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez $\pm \sqrt{e^{- 2}}$ .

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Étape 2.4.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

Étape 2.4.3.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

Étape 2.4.3.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

Étape 2.4.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{e}$

Étape 2.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{e}$

Étape 2.4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{e}$

Étape 2.4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x \ln (x^{2})$ sur $x = \frac{1}{e}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{e}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Étape 3.2.2

Placez $e^{2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\ln (1^{2} e^{- 2})$ comme $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Étape 3.2.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 2$ de l’exposant.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Étape 3.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Étape 3.2.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Étape 3.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.7.1

Développez $\ln (1^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Étape 3.2.7.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Étape 3.2.7.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Étape 3.2.8

Associez les fractions.

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Étape 3.2.8.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

Étape 3.2.8.2

Associez $\frac{1}{e}$ et $- 2$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

Étape 3.2.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

Étape 3.2.9

La réponse finale est $- \frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x \ln (x^{2})$ sur $x = - \frac{1}{e}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{e}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Étape 4.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Étape 4.2.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{e^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Étape 4.2.4

Placez $e^{2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Étape 4.2.5

Réécrivez $\ln (1^{2} e^{- 2})$ comme $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Étape 4.2.6

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 2$ de l’exposant.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Étape 4.2.7

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Étape 4.2.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Étape 4.2.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.9.1

Développez $\ln (1^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Étape 4.2.9.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Étape 4.2.9.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Étape 4.2.10

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

Étape 4.2.11

Multipliez $- \frac{1}{e} \cdot - 2$ .

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Étape 4.2.11.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

Étape 4.2.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

Étape 4.2.12

La réponse finale est $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x \ln (x^{2})$ sont $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

Étape 6