Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(- x^{2} + 6 x - 5)}^{3}$

Étape 1

Simplifiez ${(- x^{2} + 6 x - 5)}^{3}$ .

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Étape 1.1

Utilisez le théorème multinomial.

$y = {(- x^{2})}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x^{2}$ .

$y = {(- 1)}^{3} {(x^{2})}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - {(x^{2})}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 1.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - x^{2 \cdot 3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = - x^{6} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = - x^{6} + 3 \cdot 6 {(- x^{2})}^{2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.5

Multipliez $3$ par $6$ .

$y = - x^{6} + 18 {(- x^{2})}^{2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $- x^{2}$ .

$y = - x^{6} + 18 ({(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}) x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = - x^{6} + 18 (1 {(x^{2})}^{2}) x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.8

Multipliez ${(x^{2})}^{2}$ par $1$ .

$y = - x^{6} + 18 {(x^{2})}^{2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.9

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{2 \cdot 2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.9.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{4} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.10

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.10.1

Déplacez $x$ .

$y = - x^{6} + 18 (x \cdot x^{4}) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.10.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.2.1.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = - x^{6} + 18 (x^{1} x^{4}) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - x^{6} + 18 x^{1 + 4} + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.10.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 x^{2} {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.12

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 x^{2} (6^{2} x^{2}) + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} x^{2} x^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.14

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.14.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} (x^{2} x^{2}) + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} x^{2 + 2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.14.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} x^{4} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.15

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 36 x^{4} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.16

Multipliez $- 3$ par $36$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.17

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 6^{3} x^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.18

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.19

Appliquez la règle de produit à $- x^{2}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.20

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 (1 {(x^{2})}^{2}) \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.21

Multipliez ${(x^{2})}^{2}$ par $1$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.22

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.22.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.22.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 x^{4} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.23

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.24

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.24.1

Déplacez $x$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- (x \cdot x^{2})) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.24.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.2.1.24.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- (x^{1} x^{2})) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.24.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- x^{1 + 2}) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.24.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- x^{3}) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.25

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} - 6 x^{3} \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.26

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} - 36 x^{3} \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.27

Multipliez $- 5$ par $- 36$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.28

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 3 (6^{2} x^{2}) \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.29

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 3 (36 x^{2}) \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.30

Multipliez $36$ par $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 108 x^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.31

Multipliez $- 5$ par $108$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.32

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 3 x^{2} {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.33

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 3 x^{2} \cdot 25 + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.34

Multipliez $25$ par $- 3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.35

Multipliez $6$ par $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 18 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.36

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 18 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.37

Multipliez $25$ par $18$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x + {(- 5)}^{3}$

Étape 1.2.1.38

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x - 125$

Étape 1.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.2.2.1

Soustrayez $15 x^{4}$ de $- 108 x^{4}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 216 x^{3} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x - 125$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $216 x^{3}$ et $180 x^{3}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x - 125$

Étape 1.2.2.3

Soustrayez $75 x^{2}$ de $- 540 x^{2}$ .

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.2.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{5}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{5}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 x^{5} + 18 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 6 x^{5} + 18 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.3.3

Multipliez $5$ par $18$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 123 x^{4}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 123$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 123 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 123 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 123 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 123 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.4.3

Multipliez $4$ par $- 123$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [396 x^{3}]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $396$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $396 x^{3}$ par rapport à $x$ est $396 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 396 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 396 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.5.3

Multipliez $3$ par $396$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 615 x^{2}]$ .

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Étape 3.6.1

Comme $- 615$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 615 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 615 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 615 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 615 (2 x) + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.6.3

Multipliez $2$ par $- 615$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [450 x]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $450$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $450 x$ par rapport à $x$ est $450 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.7.3

Multipliez $450$ par $1$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 + \frac{d}{d x} [- 125]$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.8.1

Comme $- 125$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 125$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 + 0$

Étape 3.8.2

Additionnez $- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450$ et $0$ .

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$ .

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Étape 4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x^{5}$ .

$6 (- x^{5}) + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $90 x^{4}$ .

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 492 x^{3}$ .

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$

Étape 4.1.1.4

Factorisez $6$ à partir de $1188 x^{2}$ .

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) - 1230 x + 450 = 0$

Étape 4.1.1.5

Factorisez $6$ à partir de $- 1230 x$ .

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 450 = 0$

Étape 4.1.1.6

Factorisez $6$ à partir de $450$ .

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

Étape 4.1.1.7

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4})$ .

$6 (- x^{5} + 15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

Étape 4.1.1.8

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x^{5} + 15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3})$ .

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

Étape 4.1.1.9

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2})$ .

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

Étape 4.1.1.10

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2}) + 6 (- 205 x)$ .

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x) + 6 (75) = 0$

Étape 4.1.1.11

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x) + 6 (75)$ .

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75) = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Étape 4.1.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

Étape 4.1.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 1^{5} + 15 \cdot 1^{4} - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $5$ .

$- 1 \cdot 1 + 15 \cdot 1^{4} - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 15 \cdot 1^{4} - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.4

Élevez $1$ à la puissance $4$ .

$- 1 + 15 \cdot 1 - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.5

Multipliez $15$ par $1$ .

$- 1 + 15 - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.6

Additionnez $- 1$ et $15$ .

$14 - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.7

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$14 - 82 \cdot 1 + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.8

Multipliez $- 82$ par $1$ .

$14 - 82 + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.9

Soustrayez $82$ de $14$ .

$- 68 + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.10

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 68 + 198 \cdot 1 - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.11

Multipliez $198$ par $1$ .

$- 68 + 198 - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.12

Additionnez $- 68$ et $198$ .

$130 - 205 \cdot 1 + 75$

Étape 4.1.2.3.13

Multipliez $- 205$ par $1$ .

$130 - 205 + 75$

Étape 4.1.2.3.14

Soustrayez $205$ de $130$ .

$- 75 + 75$

Étape 4.1.2.3.15

Additionnez $- 75$ et $75$ .

$0$

Étape 4.1.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75}{x - 1}$

Étape 4.1.2.5

Divisez $- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75$ par $x - 1$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

Étape 4.1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{4}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{5}$	+	$15 x^{4}$	-	$82 x^{3}$	+	$198 x^{2}$	-	$205 x$	+	$75$

Étape 4.1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

Étape 4.1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{5} + x^{4}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

Étape 4.1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

Étape 4.1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

Étape 4.1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $14 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

Étape 4.1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

Étape 4.1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $14 x^{4} - 14 x^{3}$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

Étape 4.1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

Étape 4.1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

Étape 4.1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 68 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

Étape 4.1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

Étape 4.1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 68 x^{3} + 68 x^{2}$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

Étape 4.1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

Étape 4.1.2.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

Étape 4.1.2.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $130 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

Étape 4.1.2.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

Étape 4.1.2.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $130 x^{2} - 130 x$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

Étape 4.1.2.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

Étape 4.1.2.5.21

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

Étape 4.1.2.5.22

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 75 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

Étape 4.1.2.5.23

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

Étape 4.1.2.5.24

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 75 x + 75$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

Étape 4.1.2.5.25

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

$0$

Étape 4.1.2.5.26

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$

Étape 4.1.2.6

Écrivez $- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75$ comme un ensemble de facteurs.

$6 ((x - 1) (- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75)) = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Étape 4.1.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

Étape 4.1.3.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 1^{4} + 14 \cdot 1^{3} - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Étape 4.1.3.3.2

Élevez $1$ à la puissance $4$ .

$- 1 \cdot 1 + 14 \cdot 1^{3} - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Étape 4.1.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 14 \cdot 1^{3} - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Étape 4.1.3.3.4

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 14 \cdot 1 - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Étape 4.1.3.3.5

Multipliez $14$ par $1$ .

$- 1 + 14 - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Étape 4.1.3.3.6

Additionnez $- 1$ et $14$ .

$13 - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

Étape 4.1.3.3.7

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$13 - 68 \cdot 1 + 130 \cdot 1 - 75$

Étape 4.1.3.3.8

Multipliez $- 68$ par $1$ .

$13 - 68 + 130 \cdot 1 - 75$

Étape 4.1.3.3.9

Soustrayez $68$ de $13$ .

$- 55 + 130 \cdot 1 - 75$

Étape 4.1.3.3.10

Multipliez $130$ par $1$ .

$- 55 + 130 - 75$

Étape 4.1.3.3.11

Additionnez $- 55$ et $130$ .

$75 - 75$

Étape 4.1.3.3.12

Soustrayez $75$ de $75$ .

$0$

Étape 4.1.3.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75}{x - 1}$

Étape 4.1.3.5

Divisez $- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$ par $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

Étape 4.1.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{3}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	+	$14 x^{3}$	-	$68 x^{2}$	+	$130 x$	-	$75$

Étape 4.1.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	+	$14 x^{3}$	-	$68 x^{2}$	+	$130 x$	-	$75$
			-	$x^{4}$	+	$x^{3}$

Étape 4.1.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{4} + x^{3}$

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	+	$14 x^{3}$	-	$68 x^{2}$	+	$130 x$	-	$75$
			+	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Étape 4.1.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

Étape 4.1.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

Étape 4.1.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $13 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

Étape 4.1.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

Étape 4.1.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $13 x^{3} - 13 x^{2}$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

Étape 4.1.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

Étape 4.1.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

Étape 4.1.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 55 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

Étape 4.1.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

Étape 4.1.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 55 x^{2} + 55 x$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

Étape 4.1.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

Étape 4.1.3.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

Étape 4.1.3.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $75 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

Étape 4.1.3.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

Étape 4.1.3.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $75 x - 75$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

Étape 4.1.3.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

$0$

Étape 4.1.3.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$

Étape 4.1.3.6

Écrivez $- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$ comme un ensemble de facteurs.

$6 ((x - 1) ((x - 1) (- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75))) = 0$

Étape 4.1.4

Factorisez $- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Étape 4.1.4.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

Étape 4.1.4.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1.4.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$- 3^{3} + 13 \cdot 3^{2} - 55 \cdot 3 + 75$

Étape 4.1.4.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 13 \cdot 3^{2} - 55 \cdot 3 + 75$

Étape 4.1.4.3.3

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$- 27 + 13 \cdot 3^{2} - 55 \cdot 3 + 75$

Étape 4.1.4.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 27 + 13 \cdot 9 - 55 \cdot 3 + 75$

Étape 4.1.4.3.5

Multipliez $13$ par $9$ .

$- 27 + 117 - 55 \cdot 3 + 75$

Étape 4.1.4.3.6

Additionnez $- 27$ et $117$ .

$90 - 55 \cdot 3 + 75$

Étape 4.1.4.3.7

Multipliez $- 55$ par $3$ .

$90 - 165 + 75$

Étape 4.1.4.3.8

Soustrayez $165$ de $90$ .

$- 75 + 75$

Étape 4.1.4.3.9

Additionnez $- 75$ et $75$ .

$0$

Étape 4.1.4.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75}{x - 3}$

Étape 4.1.4.5

Divisez $- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$ par $x - 3$ .

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Étape 4.1.4.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

Étape 4.1.4.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$

Étape 4.1.4.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 4.1.4.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + 3 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 4.1.4.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Étape 4.1.4.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$

Étape 4.1.4.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$

Étape 4.1.4.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$30 x$

Étape 4.1.4.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x^{2} - 30 x$

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$

Étape 4.1.4.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$

Étape 4.1.4.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$

Étape 4.1.4.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 25 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$

Étape 4.1.4.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$
							-	$25 x$	+	$75$

Étape 4.1.4.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 25 x + 75$

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$
							+	$25 x$	-	$75$

Étape 4.1.4.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$
							+	$25 x$	-	$75$
										$0$

Étape 4.1.4.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + 10 x - 25$

Étape 4.1.4.6

Écrivez $- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$ comme un ensemble de facteurs.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + 10 x - 25)))) = 0$

Étape 4.1.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1.5.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 4.1.5.1.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + 10 (x) - 25)))) = 0$

Étape 4.1.5.1.1.2

Réécrivez $10$ comme $5$ plus $5$

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25)))) = 0$

Étape 4.1.5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25)))) = 0$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.1.5.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25)))) = 0$

Étape 4.1.5.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5))))) = 0$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 5$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) ((- x + 5) (x - 5))))) = 0$

Étape 4.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x + 5) (x - 5)))) = 0$

Étape 4.1.6

Associez les exposants.

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- (x) + 5) (x - 5)))) = 0$

Étape 4.1.6.2

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- (x) - 1 \cdot - 5) (x - 5)))) = 0$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- (x - 5)) (x - 5)))) = 0$

Étape 4.1.6.4

Réécrivez $- (x - 5)$ comme $- 1 (x - 5)$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- 1 (x - 5)) (x - 5)))) = 0$

Étape 4.1.6.5

Supprimez les parenthèses.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 (x - 5) (x - 5))))) = 0$

Étape 4.1.6.6

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 ((x - 5) (x - 5)))))) = 0$

Étape 4.1.6.7

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 ((x - 5) (x - 5)))))) = 0$

Étape 4.1.6.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 {(x - 5)}^{1 + 1})))) = 0$

Étape 4.1.6.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 {(x - 5)}^{2})))) = 0$

Étape 4.1.7

Factorisez.

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Étape 4.1.7.1

Factorisez.

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Étape 4.1.7.1.1

Factorisez le signe négatif.

$6 ((x - 1) ((x - 1) (- ((x - 3) {(x - 5)}^{2})))) = 0$

Étape 4.1.7.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 ((x - 1) ((x - 1) (- (x - 3) {(x - 5)}^{2}))) = 0$

Étape 4.1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 ((x - 1) ((x - 1) \cdot (- 1 (x - 3) {(x - 5)}^{2}))) = 0$

Étape 4.1.8

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1.1

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1.1.1

Factorisez le signe négatif.

$6 ((x - 1) (- (((x - 1) (x - 3)) {(x - 5)}^{2}))) = 0$

Étape 4.1.8.1.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 ((x - 1) (- (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2})) = 0$

Étape 4.1.8.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 ((x - 1) \cdot (- 1 (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2})) = 0$

Étape 4.1.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x - 1) \cdot (- 1 (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2}) = 0$

Étape 4.1.9

Associez les exposants.

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Étape 4.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 (x - 1) (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.1.9.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$- 6 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.1.9.3

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$- 6 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 {(x - 1)}^{1 + 1} (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 6 {(x - 1)}^{2} (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.3

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.3.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.5

Définissez ${(x - 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez ${(x - 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez ${(x - 5)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.5.2.1

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.5.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 6 {(x - 1)}^{2} (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 1, 3, 5$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ sur $x = 1$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - {(1)}^{6} + 18 {(1)}^{5} - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 18 {(1)}^{5} - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 {(1)}^{5} - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Étape 5.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 1 + 18 \cdot 1 - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $18$ par $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Étape 5.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 1 + 18 - 123 \cdot 1 + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $- 123$ par $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Étape 5.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 \cdot 1 - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Étape 5.2.1.8

Multipliez $396$ par $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

Étape 5.2.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 \cdot 1 + 450 (1) - 125$

Étape 5.2.1.10

Multipliez $- 615$ par $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 + 450 (1) - 125$

Étape 5.2.1.11

Multipliez $450$ par $1$ .

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 + 450 - 125$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $18$ .

$f (1) = 17 - 123 + 396 - 615 + 450 - 125$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $123$ de $17$ .

$f (1) = - 106 + 396 - 615 + 450 - 125$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $- 106$ et $396$ .

$f (1) = 290 - 615 + 450 - 125$

Étape 5.2.2.4

Soustrayez $615$ de $290$ .

$f (1) = - 325 + 450 - 125$

Étape 5.2.2.5

Additionnez $- 325$ et $450$ .

$f (1) = 125 - 125$

Étape 5.2.2.6

Soustrayez $125$ de $125$ .

$f (1) = 0$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ sur $x = 3$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = - {(3)}^{6} + 18 {(3)}^{5} - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$f (3) = - 1 \cdot 729 + 18 {(3)}^{5} - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $729$ .

$f (3) = - 729 + 18 {(3)}^{5} - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Étape 6.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (3) = - 729 + 18 \cdot 243 - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $18$ par $243$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Étape 6.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 123 \cdot 81 + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 123$ par $81$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Étape 6.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 396 \cdot 27 - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Étape 6.2.1.8

Multipliez $396$ par $27$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

Étape 6.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 615 \cdot 9 + 450 (3) - 125$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $- 615$ par $9$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 5535 + 450 (3) - 125$

Étape 6.2.1.11

Multipliez $450$ par $3$ .

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 5535 + 1350 - 125$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 729$ et $4374$ .

$f (3) = 3645 - 9963 + 10692 - 5535 + 1350 - 125$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $9963$ de $3645$ .

$f (3) = - 6318 + 10692 - 5535 + 1350 - 125$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $- 6318$ et $10692$ .

$f (3) = 4374 - 5535 + 1350 - 125$

Étape 6.2.2.4

Soustrayez $5535$ de $4374$ .

$f (3) = - 1161 + 1350 - 125$

Étape 6.2.2.5

Additionnez $- 1161$ et $1350$ .

$f (3) = 189 - 125$

Étape 6.2.2.6

Soustrayez $125$ de $189$ .

$f (3) = 64$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $64$ .

$64$

Étape 7

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ sur $x = 5$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - {(5)}^{6} + 18 {(5)}^{5} - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $6$ .

$f (5) = - 1 \cdot 15625 + 18 {(5)}^{5} - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $15625$ .

$f (5) = - 15625 + 18 {(5)}^{5} - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Étape 7.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (5) = - 15625 + 18 \cdot 3125 - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $18$ par $3125$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Étape 7.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 123 \cdot 625 + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 123$ par $625$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Étape 7.2.1.7

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 396 \cdot 125 - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Étape 7.2.1.8

Multipliez $396$ par $125$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

Étape 7.2.1.9

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 615 \cdot 25 + 450 (5) - 125$

Étape 7.2.1.10

Multipliez $- 615$ par $25$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 15375 + 450 (5) - 125$

Étape 7.2.1.11

Multipliez $450$ par $5$ .

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 15375 + 2250 - 125$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 15625$ et $56250$ .

$f (5) = 40625 - 76875 + 49500 - 15375 + 2250 - 125$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $76875$ de $40625$ .

$f (5) = - 36250 + 49500 - 15375 + 2250 - 125$

Étape 7.2.2.3

Additionnez $- 36250$ et $49500$ .

$f (5) = 13250 - 15375 + 2250 - 125$

Étape 7.2.2.4

Soustrayez $15375$ de $13250$ .

$f (5) = - 2125 + 2250 - 125$

Étape 7.2.2.5

Additionnez $- 2125$ et $2250$ .

$f (5) = 125 - 125$

Étape 7.2.2.6

Soustrayez $125$ de $125$ .

$f (5) = 0$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 8

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ sont $y = 0, y = 64, y = 0$ .

$y = 0, y = 64, y = 0$

Étape 9