Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} + x + 1}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = (x + 1) (x - 1)$ et $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)] - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.8.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.8.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.8.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.12

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.13

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x - 1) (x - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.5

Développez $(- x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x (x - 1) - 1 (x - 1)) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.4.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.1.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.6.1.2

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 3.4.4.1.6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + x - x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.6.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 0 + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.6.3

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.7

Développez $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.4.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.1.8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.1.8.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.4.1.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.8.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.8.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.8.5

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.1.8.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ .

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Étape 3.4.4.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.2.2

Additionnez $2 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.3

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.4

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$ sur $x = - 2 + \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 + \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{((- 2 + \sqrt{3}) + 1) ((- 2 + \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{((- 2 + \sqrt{3}) + 1) ((- 2 + \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3} - 1)}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{{(- 2 + \sqrt{3})}^{2} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Réécrivez ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3}) - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.2

Développez $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{- 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3}) - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3}) - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.3.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.3.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.3.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3 - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.3.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.3.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{7 - 4 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.4

Soustrayez $2$ de $7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{5 - 4 \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}$

Étape 5.2.3.5

Additionnez $5$ et $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 4 \sqrt{3} + \sqrt{3}}$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $- 4 \sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.4

Développez $(- 1 + \sqrt{3}) (- 3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (- 3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 + \sqrt{3})}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.5.1.2

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.5.1.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.5.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.5.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.5.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.5.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.6

Multipliez $\frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ par $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}} \cdot \frac{6 + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 5.2.7

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

Multipliez $\frac{6 - 4 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ par $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}{(6 - 3 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}$

Étape 5.2.7.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}{36 + 18 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.2.7.3

Simplifiez

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})}{9}$

Étape 5.2.7.4

Annulez le facteur commun à $6 + 3 \sqrt{3}$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.4.1

Factorisez $3$ à partir de $(6 - 4 \sqrt{3}) (6 + 3 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{9}$

Étape 5.2.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{3 (3)}$

Étape 5.2.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{3 \cdot 3}$

Étape 5.2.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{3}$

Étape 5.2.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Développez $(6 - 4 \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 (2 + \sqrt{3}) - 4 \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{3}$

Étape 5.2.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{3}$

Étape 5.2.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 2 - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.2.1.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 2 - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.3

Multipliez $- 4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.2.1.3.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.8.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} - 12}{3}$

Étape 5.2.8.2.2

Soustrayez $12$ de $12$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{0 + 6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.8.2.3

Additionnez $0$ et $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.8.2.4

Soustrayez $8 \sqrt{3}$ de $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.10

La réponse finale est $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$ sur $x = - 2 - \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 - \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{((- 2 - \sqrt{3}) + 1) ((- 2 - \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{((- 2 - \sqrt{3}) + 1) ((- 2 - \sqrt{3}) - 1)}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3} - 1)}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{{(- 2 - \sqrt{3})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Réécrivez ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.2

Développez $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{- 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 6.2.3.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.2.3.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.3.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{7 + 4 \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.4

Soustrayez $2$ de $7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{5 + 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1}$

Étape 6.2.3.5

Additionnez $5$ et $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 4 \sqrt{3} - \sqrt{3}}$

Étape 6.2.3.6

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $4 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.4

Développez $(- 1 - \sqrt{3}) (- 3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (- 3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 3 - \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot - 3 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $- 1 (- \sqrt{3})$ .

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Étape 6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.2.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 6.2.5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.2.5.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.5.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.5.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.6

Multipliez $\frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ par $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}} \cdot \frac{6 - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$

Étape 6.2.7

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.7.1

Multipliez $\frac{6 + 4 \sqrt{3}}{6 + 3 \sqrt{3}}$ par $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{6 - 3 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}{(6 + 3 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}$

Étape 6.2.7.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}{36 - 18 \sqrt{3} + 18 \sqrt{3} - 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.2.7.3

Simplifiez

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})}{9}$

Étape 6.2.7.4

Annulez le facteur commun à $6 - 3 \sqrt{3}$ et $9$ .

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Étape 6.2.7.4.1

Factorisez $3$ à partir de $(6 + 4 \sqrt{3}) (6 - 3 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{9}$

Étape 6.2.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.7.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{3 (3)}$

Étape 6.2.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{3 ((6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{3 \cdot 3}$

Étape 6.2.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{3}$

Étape 6.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.8.1

Développez $(6 + 4 \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{3}$

Étape 6.2.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{3}$

Étape 6.2.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \cdot 2 + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Étape 6.2.8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.8.2.1.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 + 6 (- \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \cdot 2 + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 2 + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.4

Multipliez $4 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 6.2.8.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.2.8.2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.8.2.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 6.2.8.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 12}{3}$

Étape 6.2.8.2.2

Soustrayez $12$ de $12$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{0 - 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 6.2.8.2.3

Soustrayez $6 \sqrt{3}$ de $0$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 6.2.8.2.4

Additionnez $- 6 \sqrt{3}$ et $8 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 6.2.9

La réponse finale est $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 7

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + x + 1}$ sont $y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 8