Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 8 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 8 x$ et $0$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Étape 3.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 3.4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 3.4.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 3.4.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x^{2} - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ sur $x = 0$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ sur $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Étape 5.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Étape 5.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Étape 5.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Étape 5.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Étape 5.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f (\sqrt{2}) = - 3$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ sont $y = 1, y = - 3, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3, y = - 3$

Étape 7