Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 2 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $4 x^{3} - 6 x + 2$ et $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 2$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 6 x + 2 = 0$ .

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Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} - 6 x + 2$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 6 x + 2 = 0$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x) + 2 = 0$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x) + 2 (1) = 0$

Étape 3.1.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x)$ .

$2 (2 x^{3} - 3 x) + 2 (1) = 0$

Étape 3.1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} - 3 x) + 2 (1)$ .

$2 (2 x^{3} - 3 x + 1) = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez.

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $2 x^{3} - 3 x + 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 3.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5$

Étape 3.1.2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.1.2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 3.1.2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 3.1.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 3.1.2.1.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 - 3 + 1$

Étape 3.1.2.1.3.5

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- 1 + 1$

Étape 3.1.2.1.3.6

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 3.1.2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x - 1}$

Étape 3.1.2.1.5

Divisez $2 x^{3} - 3 x + 1$ par $x - 1$ .

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Étape 3.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 3.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

Étape 3.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 3.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 3.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Étape 3.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 3.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 3.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 3.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 2 x$

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 3.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

Étape 3.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Étape 3.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Étape 3.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Étape 3.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 1$

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Étape 3.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Étape 3.1.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + 2 x - 1$

Étape 3.1.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 3 x + 1$ comme un ensemble de facteurs.

$2 ((x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1)) = 0$

Étape 3.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 3.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.4

Définissez $2 x^{2} + 2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $2 x^{2} + 2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 3.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.4.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 3.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.4.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.4.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2.4.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 3.4.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{3})}{2}$

Étape 3.4.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 3.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.4.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 3.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{3})}{2}$

Étape 3.4.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{3})}{2}$

Étape 3.4.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ sur $x = 1$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{2} + 2 (1) - 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{2} + 2 (1) - 1$

Étape 4.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 2 (1) - 1$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 2 (1) - 1$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 2 - 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 - 1$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (1) = 0 - 1$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (1) = - 1$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ sur $x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = 1 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.5

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.6.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.2.1.6.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.6.10.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.1.6.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.11

Multipliez $6$ par $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.12

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.13

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.15

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.16

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.17

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.1.6.17.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.17.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.18

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.19

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.20

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.21

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.22

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.23

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.24

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 5.2.1.6.24.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.24.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.24.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.24.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.2.1.6.24.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.24.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.6.24.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.24.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.24.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.24.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.6.25

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 9}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.7

Additionnez $1$ et $18$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{19 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} + 9}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.8

Additionnez $19$ et $9$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{28 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.9

Soustrayez $12 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{28 - 16 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.10

Annulez le facteur commun à $28 - 16 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 5.2.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7) - 16 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.10.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.10.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.10.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.10.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2}) + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})) + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 (1 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})) + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.13

Multipliez $\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.14

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.15

Réécrivez ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.16

Développez $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.17.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.2

Multipliez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 5.2.1.17.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.2.1.17.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.17.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.17.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.18

Annulez le facteur commun à $4 - 2 \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 5.2.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.18.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.18.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.18.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.18.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.18.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.18.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 - \sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.19

Associez $- 3$ et $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{(3) (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.21

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.21.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{- (1 - \sqrt{3})}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.21.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{- (1 - \sqrt{3})}{2}) - 1$

Étape 5.2.1.21.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} - (1 - \sqrt{3}) - 1$

Étape 5.2.1.22

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} - 1 \cdot 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.1.23

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.1.24

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 5.2.1.24.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} - 1 + 1 \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.1.24.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.2

Pour écrire $- \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} - 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} + (- 3 \cdot 2 - 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.5.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} + (- 6 - 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} + (- 6 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} - 6 \cdot 2 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.5.5

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} - 12 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.5.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} - 12 + 6 \sqrt{3}}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.5.7

Soustrayez $12$ de $7$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 4 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.5.8

Additionnez $- 4 \sqrt{3}$ et $6 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 2 \sqrt{3}}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 2 \sqrt{3}}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4} + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 4}{4} + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 2 \sqrt{3} - 4}{4} + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.8.3

Soustrayez $4$ de $- 5$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} - 1$

Étape 5.2.9

Pour écrire $\sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4} - 1$

Étape 5.2.10

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{4} - 1$

Étape 5.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4}{4} - 1$

Étape 5.2.11.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{3} \cdot 4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}}{4} - 1$

Étape 5.2.12

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $4 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 6 \sqrt{3}}{4} - 1$

Étape 5.2.13

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 6 \sqrt{3}}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.14

Associez les fractions.

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Étape 5.2.14.1

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 6 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.14.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 6 \sqrt{3} - 1 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.15.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 6 \sqrt{3} - 4}{4}$

Étape 5.2.15.2

Soustrayez $4$ de $- 9$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 13 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.2.16

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.2.16.1

Réécrivez $- 13$ comme $- 1 (13)$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 13 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.2.16.2

Factorisez $- 1$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 13 - (- 6 \sqrt{3})}{4}$

Étape 5.2.16.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (13) - (- 6 \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 (13 - 6 \sqrt{3})}{4}$

Étape 5.2.16.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{13 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 5.2.17

La réponse finale est $- \frac{13 - 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$- \frac{13 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ sur $x = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = 1 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.5

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.6.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \cdot (1 \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.2.1.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.2.1.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.7

Multipliez $6$ par $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.11

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.1.6.11.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.11.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.13

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.14

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 6.2.1.6.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.14.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.2.1.6.14.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.14.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1.6.14.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.14.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.6.15

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 9}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.7

Additionnez $1$ et $18$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{19 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} + 9}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.8

Additionnez $19$ et $9$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{28 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.9

Additionnez $4 \sqrt{3}$ et $12 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{28 + 16 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.10

Annulez le facteur commun à $28 + 16 \sqrt{3}$ et $16$ .

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Étape 6.2.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7) + 16 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.10.2

Factorisez $4$ à partir de $16 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1.10.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.10.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.10.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2}) + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})) + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 (1 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})) + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.13

Multipliez $\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.14

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.15

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.16

Développez $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.17

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1.17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.17.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.17.1.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.17.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.17.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.17.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.17.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.17.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.17.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.17.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.18

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 6.2.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.18.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.18.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.18.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1.18.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 (2)} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.18.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.18.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 + \sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.19

Associez $- 3$ et $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{(3) (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.21

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.21.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{- (1 + \sqrt{3})}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.21.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{- (1 + \sqrt{3})}{2}) - 1$

Étape 6.2.1.21.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} - (1 + \sqrt{3}) - 1$

Étape 6.2.1.22

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} - 1 \cdot 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.1.23

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} - 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} + (- 3 \cdot 2 - 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.5.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} + (- 6 - 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} - 6 \cdot 2 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.5.4

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} - 12 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.5.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} - 12 - 6 \sqrt{3}}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.5.6

Soustrayez $12$ de $7$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.5.7

Soustrayez $6 \sqrt{3}$ de $4 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 2 \sqrt{3}}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 2 \sqrt{3}}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4} - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 4}{4} - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 2 \sqrt{3} - 4}{4} - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.8.3

Soustrayez $4$ de $- 5$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} - 1$

Étape 6.2.9

Pour écrire $- \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4} - 1$

Étape 6.2.10

Associez les fractions.

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Étape 6.2.10.1

Associez $- \sqrt{3}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 4}{4} - 1$

Étape 6.2.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 4}{4} - 1$

Étape 6.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.11.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}}{4} - 1$

Étape 6.2.11.2

Soustrayez $4 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 6 \sqrt{3}}{4} - 1$

Étape 6.2.12

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 6 \sqrt{3}}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 6.2.13

Associez les fractions.

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Étape 6.2.13.1

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 6 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Étape 6.2.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 6 \sqrt{3} - 1 \cdot 4}{4}$

Étape 6.2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.14.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 6 \sqrt{3} - 4}{4}$

Étape 6.2.14.2

Soustrayez $4$ de $- 9$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 13 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 6.2.15

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.2.15.1

Réécrivez $- 13$ comme $- 1 (13)$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 13 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 6.2.15.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 13 - (6 \sqrt{3})}{4}$

Étape 6.2.15.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (13) - (6 \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 (13 + 6 \sqrt{3})}{4}$

Étape 6.2.15.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{13 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 6.2.16

La réponse finale est $- \frac{13 + 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$- \frac{13 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 7

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ sont $y = - 1, y = - \frac{13 - 6 \sqrt{3}}{4}, y = - \frac{13 + 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$y = - 1, y = - \frac{13 - 6 \sqrt{3}}{4}, y = - \frac{13 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 8