Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 2 x + 1$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 2 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 2$ et $0$ .

$4 x^{3} - 2$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 2 = 0$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} = 2$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} - 2 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} - 2$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $2 x^{3} - 1$ par $1$ .

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

Étape 3.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} = 1$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $2 x^{3} = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{3} = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

Étape 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Étape 3.8

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.8.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 3.8.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 3.8.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.8.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.8.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.8.4.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.8.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 3.8.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 3.8.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 3.8.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.8.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.8.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.8.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.8.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.8.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 3.8.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 3.8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 3.8.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ sur $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{4}$ comme $\sqrt[3]{4^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.2.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.2.3

Réécrivez $256$ comme $4^{3} \cdot 4$ .

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Étape 4.2.1.2.3.1

Factorisez $64$ à partir de $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.2.3.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Étape 4.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Étape 4.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Étape 4.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

Étape 4.2.1.6

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{4}$ comme $- \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- \sqrt[3]{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Étape 4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.3.1

Associez $- \sqrt[3]{4}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Étape 4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Étape 4.2.4.1.2

Soustrayez $4 \sqrt[3]{4}$ de $\sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Étape 4.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ est $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Forme décimale :

$y = - 0.19055078 \dots$

Étape 7