Calcul infinitésimal Exemples

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

Étape 1

Simplifiez $1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ .

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Étape 1.1

Déplacez $1$ .

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $40 x^{3}$ et $- 3 x^{5}$ .

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2.3

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40 x^{3}$ par rapport à $x$ est $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $40$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ et $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ .

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Étape 4.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $15 u$ à partir de $- 15 u^{2} + 120 u$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $15 u$ à partir de $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 120 u = 0$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $15 u$ à partir de $120 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u (- u) + 15 u (8)$ .

$15 u (- u + 8) = 0$

Étape 4.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

Étape 4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

Étape 4.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.4

Définissez $- x^{2} + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $- x^{2} + 8$ égal à $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $- x^{2} + 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 8$

Étape 4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 4.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Étape 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Étape 4.4.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{8}$ .

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Étape 4.4.2.4.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.4.2.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.4.2.4.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.4.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ sur $x = 0$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Étape 5.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $40$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ sur $x = 2 \sqrt{2}$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2 \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 6.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 6.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.2.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 6.2.1.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 6.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $4$ par $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 6.2.1.8

Multipliez $128$ par $- 3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 6.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Étape 6.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Étape 6.2.1.11

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Étape 6.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

Étape 6.2.1.13

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.2.1.13.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Étape 6.2.1.13.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Étape 6.2.1.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Étape 6.2.1.15

Multipliez $2$ par $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

Étape 6.2.1.16

Multipliez $16$ par $40$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 384 \sqrt{2}$ et $640 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $256 \sqrt{2} + 1$ .

$256 \sqrt{2} + 1$

Étape 7

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ sur $x = - 2 \sqrt{2}$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 7.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 7.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 7.2.1.5

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.2.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 7.2.1.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 7.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 7.2.1.7

Multipliez $4$ par $- 32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 7.2.1.8

Multipliez $- 128$ par $- 3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Étape 7.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Étape 7.2.1.10

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Étape 7.2.1.11

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Étape 7.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

Étape 7.2.1.13

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.2.1.13.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Étape 7.2.1.13.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Étape 7.2.1.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Étape 7.2.1.15

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

Étape 7.2.1.16

Multipliez $- 16$ par $40$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

Étape 7.2.2

Soustrayez $640 \sqrt{2}$ de $384 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 256 \sqrt{2} + 1$ .

$- 256 \sqrt{2} + 1$

Étape 8

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ sont $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

Étape 9