Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Étape 1.1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Étape 1.1.2.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Étape 1.1.2.4.3

Associez $\frac{2}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\ln (x^{2} + 1)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\ln ({(0)}^{2} + 1)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\ln (0 + 1)$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\ln (1)$

Étape 4.1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 0)$

Étape 5