Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{2} + 3 x - 1$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 3 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $4 x + 3$ et $0$ .

$4 x + 3$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x + 3 = 0$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 3$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{4}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$ sur $x = - \frac{3}{4}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 3 (- \frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{16}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 (8)}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 8}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + 3 (- \frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2.1.7

Multipliez $3 (- \frac{3}{4})$ .

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Étape 4.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - 3 (\frac{3}{4}) - 1$

Étape 4.2.1.7.2

Associez $- 3$ et $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 3 \cdot 3}{4} - 1$

Étape 4.2.1.7.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} - 1$

Étape 4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 1$

Étape 4.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 1$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 1$

Étape 4.2.2.3

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1}$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 1 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 1 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 8}{8}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 8}{8}$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $8$ de $- 9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 17}{8}$

Étape 4.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{17}{8}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $- \frac{17}{8}$ .

$- \frac{17}{8}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$ est $y = - \frac{17}{8}$ .

$y = - \frac{17}{8}$

Étape 6