Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 5 x^{2} - 2 x$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 10 x - 2 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 10 x - 2$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 10 x - 2 = 0$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- 10 x = 2$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- 10 x = 2$ par $- 10$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 10 x = 2$ par $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{2}{- 10}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 10$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{2}{- 10}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{- 10}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 10$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{- 10}$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5}$

Étape 3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{- 5}$

Étape 3.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{5}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$ sur $x = - \frac{1}{5}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{5}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 {(- \frac{1}{5})}^{2} - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{5^{2}})) - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 (1 (\frac{1^{2}}{5^{2}})) - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 \frac{1^{2}}{5^{2}} - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 \frac{1}{5^{2}} - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - 5 (\frac{1}{25}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (- \frac{1}{5}) = 5 (- 1) (\frac{1}{25}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.6.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f (- \frac{1}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{1}{5 \cdot 5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{1}{5 \cdot 5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{5}) = - 1 (\frac{1}{5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.7

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{5})$ comme $- (\frac{1}{5})$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - (\frac{1}{5}) - 2 (- \frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.8

Multipliez $- 2 (- \frac{1}{5})$ .

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Étape 4.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{5} + 2 (\frac{1}{5})$

Étape 4.2.1.8.2

Associez $2$ et $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{1}{5}) = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5}$

Étape 4.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{- 1 + 2}{5}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- \frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = - 5 x^{2} - 2 x$ est $y = \frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5}$

Étape 6